Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng $\widehat{O_1AO'}=\widehat{O_2AS}$.

my own

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:$who học english$

Đã gửi 10-05-2022 - 21:32

Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $B_1$ và $C_1$ lần lượt là các điểm đối xứng với $B, C$ qua $AC, AB$. $O'$ đối xứng với $O$ qua $A$. $O_1$, $O_2$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của $(OB_1C_1), (O'B_1C_1)$. $K$ là điểm $Kosnita$ của $\Delta ABC$. $S$ đối xứng với $O$ qua $K$. Chứng minh rằng $\widehat{O_1AO'}=\widehat{O_2AS}$.

geogebra-export.png



#2 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:(^_^)

Đã gửi 11-05-2022 - 17:23

Trước hết ta chứng minh 4 bổ đề:

Bổ đề 1: $AK\perp B_1C_1$: 

bổ đề 1.png

Gọi $H$ là trực tâm $\Delta ABC$.

Gọi $D$ là trung điểm của $BC$, $T$ đối xứng với $O$ qua $D$.

Theo kết quả quen thuộc ta có $AT,AK$ đẳng giác trong $\angle BAC$.

Kí hiệu $d_{M/a}$ là khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $a$.

Khi đó $d_{T/AB}=2d_{D/AB}-d_{O/AB}=d_{C/AB}-\frac{CH}{2}=C_1H$.

Tương tự $d_{T/AC}=B_1H$ nên $\frac{d_{T/AB}}{d_{T/AC}}=\frac{C_1H}{B_1H}$.

Do đó đường đẳng giác của $AT$ trong $\angle BAC$ vuông góc với $B_1C_1$.

Suy ra $AK\perp BC$. Bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2: $O'$ cách đều $B_1,C_1$ và $AO_2\perp BC$:

bổ đề 2.png

Ta có $\frac{BC}{AO}=2\sin \widehat{BAC}=\frac{C_1C}{C_1A}$

$\Rightarrow \frac{C_1C}{CB_1}=\frac{C_1A}{AO'}\Rightarrow C_1AO'\sim\Delta C_1CB_1(c.g.c)\Rightarrow \Delta C_1O'B_1\sim\Delta C_1AC$

$\Rightarrow O'B_1=O'C_1$.

Kí hiệu $(\omega_1)$ là đường tròn $(AHBC_1)$, $(\omega_2)$ là đường tròn $(AHCB_1)$.

$(B,BC)$ cắt lại $AC$ tai $D$, $(C;CB)$ cắt lại $AB$ tại $E$.

Khi đó $D\in (\omega_1),E\in (\omega_2)$ và $B_1D\parallel C_1E \parallel BC$.

$B_1D$ cắt lại $(\omega_1)$ tại $F$, $C_1E$ cắt lại $(\omega_2)$ tại $G$.

Đồng thời ta có $\angle DFC_1=180^\circ - \angle CAC_1=180^\circ - \angle BAB_1=\angle EGB_1$, suy ra $FC_1GB_1$ là hình thang cân.

Thêm nữa $\angle DFC_1=180^\circ-\angle CAC_1=180^\circ-\angle C_1O'B_1$, suy ra $C_1,F,O',B_1,G$ cùng thuộc một đường tròn.

Từ đó $AO_2\perp B_1F\Rightarrow A,O_2,H$ thẳng hàng.

Bổ đề 3: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O;R)$, điểm $D,E$ nằm trên trung trực của $BC$.

Khi đó $AD,AE$ đẳng giác trong $\angle BAC$ $\Leftrightarrow \overline{OD}.\overline{OE}=R^2$.

Ta chứng minh phần thuận. Phần đảo chứng minh tương tự.

Vì $AD,AE$ đẳng giác trong $\angle BAC$ nên $(AD,AC)\equiv -(AE,AB)\pmod \pi$.

Do đó $(AD,AO)\equiv (AD,AC)+(AC,AO)\equiv -(AE,AB)+(BC,BA)+\frac{\pi}{2}\equiv (BC,AE)+(OE,BC)$

                              $\equiv (OE,AE)\pmod \pi$

$\Rightarrow$ $AO$ là tiếp tuyến của $(ADE)$ $\Rightarrow \overline{OD}.\overline{OE}=OA^2=R^2$.

Bổ đề 4: Cho tam giác $ABC$, $D,E$ là hai điểm liên hợp đẳng giác trong $\Delta ABC$.

Gọi $D'$ đối xứng với $D$ qua $BC$ thì $A,D'$ liên hợp đẳng giác trong tam giác $BEC$.

Bổ đề này khá dễ chứng minh.

Quay trở lại bài toán:

bài toán.png

Gọi $H$ là trực tâm $\Delta ABC$.

Ta có $AK$ là đường trung bình của $\Delta OO'S$ $\Rightarrow AK\parallel O'S$.

Mà $AK\perp B_1C_1$ (bổ đề 1) nên $O'S\perp B_1C_1$.

Kết hợp bổ đề 2 ta có $O',O_1,S,O_2$ cùng thuộc trung trực của $B_1C_1$.

Gọi $L$ là tâm $(AB_1C_1)$.

Đồng thời $AH,AO$; $AB_1,AC_1$ đẳng giác trong $\angle BAC$ nên ta chỉ cần chứng minh $AO_1,AS$ đẳng giác trong $\angle B_1AC_1$.

Theo bổ đề 3, ta chỉ cần chứng minh $\overline{LO_1}.\overline{LS}=LB_1^2$.

Gọi $O_c$ là tâm Euler, $P,Q$ theo thứ tự đối xứng với $O_c$ qua $AC,AB$. 

Gọi $D,E$ lần lượt là trung điểm của $OC_1,OB_1$.

Gọi $X,Y$ lần lượt là điểm đổi xứng của $K$ qua $AB,AC$.

$O_c,K$ đẳng giác trong $\Delta ABC$ nên theo bổ đề 4 ta có $(O_cX,O_cA)\equiv (O_cB,O_cC)\pmod \pi$ và $(O_cY,O_cA)\equiv (O_cC,O_cB)\pmod \pi$ $\Rightarrow (O_cX,O_cY)\equiv 2(O_cB,O_cC)\pmod \pi$.

Theo tính chất quen thuộc, $O_c$ là trung điểm của $BP,CQ$.

Do đó $(SC_1,SB_1)\equiv (KD,KE)\equiv (KD,AB)+(AB,AC)+(AC,KE)\equiv (AB,O_cX)+(AB,AC)+(AC,O_cY)\equiv 2(AB,AC)+2(O_cB,O_cC)\pmod \pi$.

Mặt khác, ta có:

$(B_1L,B_1O_1)\equiv (B_1L,B_1C_1)+(B_1C_1,B_1O_1)\equiv (AB_1,AC_1)+\frac{\pi}{2}+(OC_1,OB_1)+\frac{\pi}{2}\equiv (AB_1,AC_1)+(OC_1,AB)+(AB,AC)+(AC,OB_1)\equiv (AB_1,AC_1)+(AB,CO_c)+(AB,AC)+(BO_c,AC)\equiv (O_cB,O_cC)+(AB,AC)\pmod \pi$.

Từ đó $2(B_1L,B_1O_1)\equiv (SC_1,SB_1)$ hay $(B_1L,B_1O_1)\equiv (SB_1,SO_1)$

$\Rightarrow B_1L$ là tiếp tuyến của $(B_1O_1S)$, hay $\overline{LO_1}.\overline{LS}=LB_1^2$.

Bài toán được chứng minh hoàn tất.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 11-05-2022 - 17:24


#3 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:$who học english$

Đã gửi 11-05-2022 - 17:55

Mặc dù mình chưa đọc nhưng Hoang72 đưa ra lời giải nhanh quá :D 
Thực ra đây là bài toán mình kết hợp giữa bài hình ELMO 2016 và một số bài toán mà mình đã làm
Ý tưởng của mình là như sau (có vẻ là hơi khác so với lời giải của Hoang72):
Gọi $A_1$ đối xứng với $A$ qua $BC$. Khi đó ta sẽ chứng minh $S$ là tâm $(A_1B_1C_1)$
Kết hợp với kết quả từ bài hình ELMO 2016 ta có được $AO_2\perp BC$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $AS$ và $AO_1$ đẳng giác trong $\widehat{BAC}$. Điều này hiển nhiên theo phép nghịch đảo đối xứng cực $A$ phương tích $AB.AC$



#4 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:(^_^)

Đã gửi 11-05-2022 - 18:08

Mặc dù mình chưa đọc nhưng Hoang72 đưa ra lời giải nhanh quá :D 
Thực ra đây là bài toán mình kết hợp giữa bài hình ELMO 2016 và một số bài toán mà mình đã làm
Ý tưởng của mình là như sau (có vẻ là hơi khác so với lời giải của Hoang72):
Gọi $A_1$ đối xứng với $A$ qua $BC$. Khi đó ta sẽ chứng minh $S$ là tâm $(A_1B_1C_1)$
Kết hợp với kết quả từ bài hình ELMO 2016 ta có được $AO_2\perp BC$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $AS$ và $AO_1$ đẳng giác trong $\widehat{BAC}$. Điều này hiển nhiên theo phép nghịch đảo đối xứng cực $A$ phương tích $AB.AC$

Lời giải ngắn gọn thật :o, em chỉ nghĩ đến dùng góc và bổ đề 3 nên cho lời giải dài quá :(





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: my own

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh