Đến nội dung


Hình ảnh

$\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{zx}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}=2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 jupiterhn9x

jupiterhn9x

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nam
  • Sở thích:Toán và Toán

Đã gửi 11-05-2022 - 23:02

Cho các số dương x,y,z đều nhỏ hơn 1, thỏa mãn $\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{zx}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}=2}$

Tìm GTLN của xyz


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jupiterhn9x: 11-05-2022 - 23:03


#2 ATHEIST

ATHEIST

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình

Đã gửi 12-05-2022 - 15:17

Với $0 < x,y,z < 1$:

Ta có: $\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{xz}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2\Leftrightarrow \sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)}=2\sqrt{xyz}$

Áp dụng BĐT $Cauchy$, ta có: $\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)}\leq \frac{1}{2}\left ( x+1-x+y+1-y+z+1-z \right )=\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{xyz} \leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow xyz \leq \frac{9}{16}$

Vậy $GTLN$ của $xyz=\frac{9}{16}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ATHEIST: 12-05-2022 - 15:23

Nếu em sai xin chỉ giáo ạ!


#3 jupiterhn9x

jupiterhn9x

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nam
  • Sở thích:Toán và Toán

Đã gửi 13-05-2022 - 21:40

Chưa đúng rồi bạn ạ ! Dấu bằng không xảy ra rồi !
 

Với $0 < x,y,z < 1$:

Ta có: $\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{xz}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2\Leftrightarrow \sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)}=2\sqrt{xyz}$

Áp dụng BĐT $Cauchy$, ta có: $\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)}\leq \frac{1}{2}\left ( x+1-x+y+1-y+z+1-z \right )=\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{xyz} \leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow xyz \leq \frac{9}{16}$

Vậy $GTLN$ của $xyz=\frac{9}{16}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh