Cho các số dương x,y,z đều nhỏ hơn 1, thỏa mãn $\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{zx}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}=2}$
Tìm GTLN của xyz
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jupiterhn9x: 11-05-2022 - 23:03
Cho các số dương x,y,z đều nhỏ hơn 1, thỏa mãn $\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{zx}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}=2}$
Tìm GTLN của xyz
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jupiterhn9x: 11-05-2022 - 23:03
Với $0 < x,y,z < 1$:
Ta có: $\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{xz}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2\Leftrightarrow \sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)}=2\sqrt{xyz}$
Áp dụng BĐT $Cauchy$, ta có: $\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)}\leq \frac{1}{2}\left ( x+1-x+y+1-y+z+1-z \right )=\frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{xyz} \leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow xyz \leq \frac{9}{16}$
Vậy $GTLN$ của $xyz=\frac{9}{16}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ATHEIST: 12-05-2022 - 15:23
Nếu em sai xin chỉ giáo ạ!
Chưa đúng rồi bạn ạ ! Dấu bằng không xảy ra rồi !
Với $0 < x,y,z < 1$:
Ta có: $\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{xz}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2\Leftrightarrow \sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)}=2\sqrt{xyz}$
Áp dụng BĐT $Cauchy$, ta có: $\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)}\leq \frac{1}{2}\left ( x+1-x+y+1-y+z+1-z \right )=\frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{xyz} \leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow xyz \leq \frac{9}{16}$
Vậy $GTLN$ của $xyz=\frac{9}{16}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh