Đến nội dung


Hình ảnh

Tính $f \left( \frac{1}{7} \right)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1593 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 12-05-2022 - 21:19

Cho số $ 0<a<1$ và hàm số $f$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:

 

$1/$ $ f(0) =0 \ ; \  f(1) =1$

 

$2/$ $ f \left( \frac{x+y}{2} \right) = (1-a)f(x) + af(y)$  với mọi $x;y$ thỏa mãn $ 0 \leq x \leq y \leq 1$

 

 

Hãy tính $f \left( \frac{1}{7} \right)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 12-05-2022 - 21:45

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2083 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-05-2022 - 16:23

Cho số $ 0<a<1$ và hàm số $f$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:

 

$1/$ $ f(0) =0 \ ; \  f(1) =1$

 

$2/$ $ f \left( \frac{x+y}{2} \right) = (1-a)f(x) + af(y)$  với mọi $x;y$ thỏa mãn $ 0 \leq x \leq y \leq 1$

 

 

Hãy tính $f \left( \frac{1}{7} \right)$

+ Cho $x=0,y=1\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).0+a.1=a$           $(1)$

+ Cho $x=0,y=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{4} \right )=(1-a).0+a.a=a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{2},y=1\Rightarrow f\left ( \frac{3}{4} \right )=(1-a).a+a.1=2a-a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{4},y=\frac{3}{4}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).a^2+a.(2a-a^2)=3a^2-2a^3$   $(2)$

 

+ Nếu $a\neq \frac{1}{2}\Rightarrow 3a^2-2a^3\neq a\Rightarrow$ không có hàm $f$ thỏa mãn.

+ Nếu $a=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{x+y}{2} \right )=\frac{1}{2}.f(x)+\frac{1}{2}.f(y)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$

   $\Rightarrow f$ là hàm tuyến tính $f(x)=x$.

   Vậy hàm $f$ chỉ tồn tại khi $a=\frac{1}{2}$ và khi đó $f\left ( \frac{1}{7} \right )=\frac{1}{7}$.

  
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1593 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 22-05-2022 - 12:02

Thực ra thì điều kiện hàm số liên tục là thừa. Nếu bỏ đi điều kiện liên tục của hàm số thì để hoàn tất bài toán, ta chỉ cần làm như sau:

 

Lời giải 2 (dựa trên ý tưởng của thầy Nghiêm Quốc Chánh):

+ Cho $x=0,y=1\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).0+a.1=a$     

+ Cho $x=0,y=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{4} \right )=(1-a).0+a.a=a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{2},y=1\Rightarrow f\left ( \frac{3}{4} \right )=(1-a).a+a.1=2a-a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{4},y=\frac{3}{4}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).a^2+a.(2a-a^2)=3a^2-2a^3$

 

 

Suy ra: $ a= 3a^2 - 2a^3 \implies 1 = 3a - 2a^2 \implies (2a-1)(a-1) = 0  \implies  a = \frac{1}{2}$ do $ 0< a<1$

 

Thay $ x = 0 ; y =  \frac{2}{7}$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{1}{7} \right) = a f \left(  \frac{2}{7} \right) $  $(4)$

 

 

Thay $ x = 0 ; y =  \frac{4}{7}$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{2}{7} \right) = a f \left(  \frac{4}{7} \right) $  $(5)$

 

Từ $(4); (5)$; ta suy ra:  $ f \left(  \frac{1}{7} \right) = a^2 f \left(  \frac{4}{7} \right) $

 

$ \implies  f \left(  \frac{4}{7} \right)  = \frac{f \left(  \frac{1}{7} \right)}{a^2}$  $(6)$

 

Thay $ x =  \frac{1}{7} ; y =  1$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{4}{7} \right)  = (1-a) f \left(  \frac{1}{7} \right) + a$

 

$ \implies \frac{1}{a^2} \cdot f \left( \frac{1}{7} \right) = (1-a) f \left( \frac{1}{7} \right) +a$ , ở đây sử dụng đẳng thức $(6)$

 

$ \implies  f \left(  \frac{1}{7} \right)  = \frac{ a^3}{1- (1-a) a^2}$  $(7)$

 

Thay $ a = \frac{1}{2}$ vào đẳng thức $(7)$ , ta có được:  $ f \left(  \frac{1}{7} \right)  = \frac{ 1}{7}$

 

Bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 28-05-2022 - 09:51

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#4 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-05-2022 - 23:34

Bài này nếu nhận xét rằng $f(1/2)$ nằm trên đoạn thẳng có hai đầu là $f(0)$ và $f(1)$ thì sẽ thấy ngay $a=1/2$.

 

Nếu đào sâu thêm thì sẽ có nhiều câu hỏi thú vị đấy. Ví dụ, nếu bỏ đi giả thiết $f$ liên tục, thì $f(x) = x$ (trên $[0,1]$) liệu có phải là hàm số duy nhất thoả mãn hay không? Nếu không thì $f(x) = x$ với những giá trị nào của $x$?

 


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#5 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-05-2022 - 22:51

 

Nếu đào sâu thêm thì sẽ có nhiều câu hỏi thú vị đấy. Ví dụ, nếu bỏ đi giả thiết $f$ liên tục, thì $f(x) = x$ (trên $[0,1]$) liệu có phải là hàm số duy nhất thoả mãn hay không? Nếu không thì $f(x) = x$ với những giá trị nào của $x$?

Câu này chắc là khó nên không thấy ai tham gia thảo luận. Và cũng bởi vì là câu hỏi mở chứ chưa biết đáp án nên càng khó hơn (nhìn chung thì các câu hỏi đúng sai hoặc tìm một đại lượng nào đó thường khó hơn là chứng minh một kết quả, vì nếu biết kết quả rồi dù sao cũng có thêm manh mối).

 

Thực ra thì với kiến thức phổ thông thì không thể giải hoàn toàn câu hỏi trên được, tuy nhiên có thể giải quyết được một phần như sau:

 

1. Chứng minh $f(x) = x$ với mọi số hữu tỉ $x\in [0,1]$.

 

2. Nếu $x$ vô tỉ thì cần thêm giả thiết. Ví dụ nếu giả sử $f\ge 0$, thì $f(x) = x$ với mọi $x\in [0,1]$.

 

Câu 1 không quá khó đâu, câu 2 thì khó hơn chút xíu. Nếu trả lời được câu 1 thì các bạn sẽ thấy là có một cách rất đơn giản để tính $f(1/7)$. Cách ở trên của supermember cũng khá đẹp, nhưng chỉ tính được cho một tập rất nhỏ các giá trị mà thôi (hãy thử tính $f(6/13)$ xem sao).


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#6 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1593 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 28-05-2022 - 11:46

(hãy thử tính $f(6/13)$ xem sao).

 

Thay $ x = 0; y = \frac{2}{13}$ vào $(1)$; ta có: $ f \left( \frac{1}{13} \right) = a f \left( \frac{2}{13} \right) $

Thay $ x = 0; y = \frac{4}{13}$ vào $(1)$; ta có: $ f \left( \frac{2}{13} \right) = a f \left( \frac{4}{13} \right) $

Thay $ x = 0; y = \frac{8}{13}$ vào $(1)$; ta có: $ f \left( \frac{4}{13} \right) = a f \left( \frac{8}{13} \right) $

 

Suy ra: $ f \left( \frac{1}{13} \right) = a^2 f \left( \frac{4}{13} \right) ; f \left( \frac{1}{13} \right) = a^3 f \left( \frac{8}{13} \right) $

Suy ra: $ f \left( \frac{4}{13} \right) = \frac{1}{a^2} \cdot f \left( \frac{1}{13} \right) ; f \left( \frac{8}{13} \right) = \frac{1}{a^3} \cdot f \left( \frac{1}{13} \right) $

 

Thay $ x = 0; y = \frac{12}{13}$ vào $(1)$; ta có: $ f \left( \frac{6}{13} \right) = a f \left( \frac{12}{13} \right) $ $(8)$

 

Thay $ x = \frac{4}{13}; y = \frac{8}{13}$ vào $(1)$; ta có: $ f \left( \frac{6}{13} \right) = (1-a) f \left( \frac{4}{13} \right) + a f \left( \frac{8}{13} \right) $

 

$ \implies f \left( \frac{6}{13} \right) = \frac{1-a}{a^2}  \cdot f \left( \frac{1}{13} \right) + \frac{1}{a^2} f \left( \frac{1}{13} \right) $

$ \implies f \left( \frac{1}{13} \right) = \frac{a^2}{2-a}  \cdot f \left( \frac{6}{13} \right) $  $(9)$

 

 

Thay $ x =  \frac{1}{13}; y = \frac{12}{13}$ vào $(1)$; ta có: $ f \left( \frac{1}{2} \right) = (1-a) f \left( \frac{1}{13} \right) + a f \left( \frac{12}{13} \right) $

$\implies a =  \frac{a^2 (1-a)}{2-a}  \cdot f \left( \frac{6}{13} \right) +   f \left( \frac{6}{13} \right) $

 

$\big($ Ở đây sử dụng đẳng thức $(8); (9)$, đồng thời chú ý trong bài post số $\#3$ đã chứng minh được $ f\left( \frac{1}{2} \right) =a $ $\big)$

 

Suy ra: $ a = f \left( \frac{6}{13} \right) \cdot \left(  \frac{a^2 (1-a)}{2-a} +1 \right) $

 

Suy ra: $ f \left( \frac{6}{13} \right) = \frac{a}{  \frac{a^2 (1-a)}{2-a} +1}$ $(10)$

 

Thay $ a= \frac{1}{2}$ vào đẳng thức $(10)$ sẽ có ngay $ f \left( \frac{6}{13} \right) = \frac{6}{13}$

 

Và bài Toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.

 

Thực ra thì bất kỳ số thuộc $\mathbb{Q}^{+} \bigcap [0;1]$ nào thì cũng sẽ đều tính được theo cách này.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 28-05-2022 - 12:22

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#7 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-06-2022 - 18:08

Ồ đúng vậy, anh xin tự gạch :D

Tuy nhiên lời giải của supermember vẫn còn phức tạp. Có thể giải đơn giản hơn nhiều như sau.

 

Trước hết nhận xét rằng $a=1/2$, có thể chứng minh như bạn chanhquocnghiem ở trên. Phương trình trở thành

$$f\left( \frac{x+y}{2} \right)=\frac{f(x)+f(y)}{2} \quad\forall x,y\in[0,1].$$

Cho $y=0$ thì ta được $f(x/2) = f(x)/2$ với mọi $x\in[0,1]$. Suy ra

$$\frac{f(x)+f(y)}{2} = f\left( \frac{x+y}{2} \right) = \frac{f(x+y)}{2}, \quad \text{nghĩa là}\quad f(x)+f(y) = f(x+y), \quad \forall x,y\in[0,1], x+y\le 1.$$

Như vậy ta đã đưa PT ban đầu về PT Cauchy. Từ đây thì công việc đơn giản đi nhiều. Nhận xét rằng 

$$f(nx) = f((n-1)x) + f(x) = f((n-2)x) + 2f(x) = \dots = nf(x)\quad \forall x\in [0,1/n],\forall n\in\mathbb{N},$$

ta có $$f(p/q) = pf(1/q) = (p/q)f(1) = p/q \quad\forall p,q\in\mathbb{N},p\le q\neq 0.$$

Nghĩa là $f(x) = x$ với mọi $x$ hữu tỉ trên $[0,1]$. 

 

 

Nếu thêm giả thiết $f\ge 0$ thì có thể chứng minh $f(x) = x$ với mọi số thực $x\in[0,1]$. Ở trên Nesbit nói là câu này khó hơn câu trên một chút, không nhớ là tại vì sao :D, nhưng thực ra thì cũng cực kì đơn giản:

 

Nếu $x,y\in[0,1]$ và $x\ge y$ thì ta có $f(x) - f(y) = f(x-y) \ge 0$, suy ra $f$ đồng biến. Với $x$ bất kì thuộc $[0,1]$, nếu $f(x) < x$ thì tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $f(x) < q < x$, suy ra $f(x) < q = f(q) \le f(x)$, vô lí. Tương tự nếu $f(x) > x$ cũng vô lí. Vậy $f(x) = x$ với mọi $x\in[0,1]$.

 

Câu hỏi: Nếu thay giả thiết $f\ge 0$ thành "$f$ bị chặn dưới", thì kết quả sẽ thế nào?


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh