Đến nội dung


Hình ảnh

Tính $f \left( \frac{1}{7} \right)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1576 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 12-05-2022 - 21:19

Cho số $ 0<a<1$ và hàm số $f$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:

 

$1/$ $ f(0) =0 \ ; \  f(1) =1$

 

$2/$ $ f \left( \frac{x+y}{2} \right) = (1-a)f(x) + af(y)$  với mọi $x;y$ thỏa mãn $ 0 \leq x \leq y \leq 1$

 

 

Hãy tính $f \left( \frac{1}{7} \right)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 12-05-2022 - 21:45

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-05-2022 - 16:23

Cho số $ 0<a<1$ và hàm số $f$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:

 

$1/$ $ f(0) =0 \ ; \  f(1) =1$

 

$2/$ $ f \left( \frac{x+y}{2} \right) = (1-a)f(x) + af(y)$  với mọi $x;y$ thỏa mãn $ 0 \leq x \leq y \leq 1$

 

 

Hãy tính $f \left( \frac{1}{7} \right)$

+ Cho $x=0,y=1\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).0+a.1=a$           $(1)$

+ Cho $x=0,y=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{4} \right )=(1-a).0+a.a=a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{2},y=1\Rightarrow f\left ( \frac{3}{4} \right )=(1-a).a+a.1=2a-a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{4},y=\frac{3}{4}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).a^2+a.(2a-a^2)=3a^2-2a^3$   $(2)$

 

+ Nếu $a\neq \frac{1}{2}\Rightarrow 3a^2-2a^3\neq a\Rightarrow$ không có hàm $f$ thỏa mãn.

+ Nếu $a=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{x+y}{2} \right )=\frac{1}{2}.f(x)+\frac{1}{2}.f(y)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$

   $\Rightarrow f$ là hàm tuyến tính $f(x)=x$.

   Vậy hàm $f$ chỉ tồn tại khi $a=\frac{1}{2}$ và khi đó $f\left ( \frac{1}{7} \right )=\frac{1}{7}$.

  
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1576 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi Hôm nay, 12:02

Thực ra thì điều kiện hàm số liên tục là thừa. Để hoàn tất bài toán ta chỉ cần làm như sau:

 

Lời giải 2 (dựa trên ý tưởng của thầy Nghiêm Quốc Chánh):

Thay $ x = 0 ; y =  \frac{2}{7}$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{1}{7} \right) = a f \left(  \frac{2}{7} \right) $  $(4)$

 

 

Thay $ x = 0 ; y =  \frac{4}{7}$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{2}{7} \right) = a f \left(  \frac{4}{7} \right) $  $(5)$

 

Từ $(4); (5)$; ta suy ra:  $ f \left(  \frac{1}{7} \right) = a^2 f \left(  \frac{4}{7} \right) $

 

$ \implies  f \left(  \frac{4}{7} \right)  = \frac{f \left(  \frac{1}{7} \right)}{a^2}$  $(6)$

 

Thay $ x =  \frac{1}{7} ; y =  1$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{4}{7} \right)  = (1-a) f \left(  \frac{1}{7} \right) + a$

 

$ \frac{f \left(  \frac{1}{7} \right)}{a^2} =  (1-a) f \left(  \frac{1}{7} \right) + a $ ; cái này là theo $(6)$

 

$ \implies  f \left(  \frac{1}{7} \right)  = \frac{ a^3}{1- (1-a) a^2}$  $(7)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: Hôm nay, 12:11

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




2 người đang xem chủ đề

1 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh