Đến nội dung


Hình ảnh

Tính $f \left( \frac{1}{7} \right)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1576 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 12-05-2022 - 21:19

Cho số $ 0<a<1$ và hàm số $f$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:

 

$1/$ $ f(0) =0 \ ; \  f(1) =1$

 

$2/$ $ f \left( \frac{x+y}{2} \right) = (1-a)f(x) + af(y)$  với mọi $x;y$ thỏa mãn $ 0 \leq x \leq y \leq 1$

 

 

Hãy tính $f \left( \frac{1}{7} \right)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 12-05-2022 - 21:45

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2073 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-05-2022 - 16:23

Cho số $ 0<a<1$ và hàm số $f$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:

 

$1/$ $ f(0) =0 \ ; \  f(1) =1$

 

$2/$ $ f \left( \frac{x+y}{2} \right) = (1-a)f(x) + af(y)$  với mọi $x;y$ thỏa mãn $ 0 \leq x \leq y \leq 1$

 

 

Hãy tính $f \left( \frac{1}{7} \right)$

+ Cho $x=0,y=1\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).0+a.1=a$           $(1)$

+ Cho $x=0,y=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{4} \right )=(1-a).0+a.a=a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{2},y=1\Rightarrow f\left ( \frac{3}{4} \right )=(1-a).a+a.1=2a-a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{4},y=\frac{3}{4}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).a^2+a.(2a-a^2)=3a^2-2a^3$   $(2)$

 

+ Nếu $a\neq \frac{1}{2}\Rightarrow 3a^2-2a^3\neq a\Rightarrow$ không có hàm $f$ thỏa mãn.

+ Nếu $a=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{x+y}{2} \right )=\frac{1}{2}.f(x)+\frac{1}{2}.f(y)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$

   $\Rightarrow f$ là hàm tuyến tính $f(x)=x$.

   Vậy hàm $f$ chỉ tồn tại khi $a=\frac{1}{2}$ và khi đó $f\left ( \frac{1}{7} \right )=\frac{1}{7}$.

  
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1576 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 22-05-2022 - 12:02

Thực ra thì điều kiện hàm số liên tục là thừa. Nếu bỏ đi điều kiện liên tục của hàm số thì để hoàn tất bài toán, ta chỉ cần làm như sau:

 

Lời giải 2 (dựa trên ý tưởng của thầy Nghiêm Quốc Chánh):

+ Cho $x=0,y=1\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).0+a.1=a$     

+ Cho $x=0,y=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{4} \right )=(1-a).0+a.a=a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{2},y=1\Rightarrow f\left ( \frac{3}{4} \right )=(1-a).a+a.1=2a-a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{4},y=\frac{3}{4}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).a^2+a.(2a-a^2)=3a^2-2a^3$

 

 

Suy ra: $ a= 3a^2 - 2a^3 \implies 1 = 3a - 2a^2 \implies (2a-1)(a-1) = 0  \implies  a = \frac{1}{2}$ do $ 0< a<1$

 

Thay $ x = 0 ; y =  \frac{2}{7}$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{1}{7} \right) = a f \left(  \frac{2}{7} \right) $  $(4)$

 

 

Thay $ x = 0 ; y =  \frac{4}{7}$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{2}{7} \right) = a f \left(  \frac{4}{7} \right) $  $(5)$

 

Từ $(4); (5)$; ta suy ra:  $ f \left(  \frac{1}{7} \right) = a^2 f \left(  \frac{4}{7} \right) $

 

$ \implies  f \left(  \frac{4}{7} \right)  = \frac{f \left(  \frac{1}{7} \right)}{a^2}$  $(6)$

 

Thay $ x =  \frac{1}{7} ; y =  1$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{4}{7} \right)  = (1-a) f \left(  \frac{1}{7} \right) + a$

 

$ \implies \frac{1}{a^2} \cdot f \left( \frac{1}{7} \right) = (1-a) f \left( \frac{1}{7} \right) +a$ , ở đây sử dụng đẳng thứ $(6)$

 

$ \implies  f \left(  \frac{1}{7} \right)  = \frac{ a^3}{1- (1-a) a^2}$  $(7)$

 

Thay $ a = \frac{1}{2}$ vào đẳng thức $(7)$ , ta có được:  $ f \left(  \frac{1}{7} \right)  = \frac{ 1}{7}$

 

Bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 22-05-2022 - 12:31

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#4 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2173 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-05-2022 - 23:34

Bài này nếu nhận xét rằng $f(1/2)$ nằm trên đoạn thẳng có hai đầu là $f(0)$ và $f(1)$ thì sẽ thấy ngay $a=1/2$.

 

Nếu đào sâu thêm thì sẽ có nhiều câu hỏi thú vị đấy. Ví dụ, nếu bỏ đi giả thiết $f$ liên tục, thì $f(x) = x$ (trên $[0,1]$) liệu có phải là hàm số duy nhất thoả mãn hay không? Nếu không thì $f(x) = x$ với những giá trị nào của $x$?

 


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh