Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $GF$ và $CJ$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$.

- - - - - my own

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, đường cao $AD, CF$. Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $OC$ cắt $BC$ tại $S$, dựng hình bình hành $AOSJ$. $AD$ cắt $(O)$ tại $G$. Chứng minh $GF$ và $CJ$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$.
P/s: một bài toán vui :D


ズ刀Oア


#2
dat09

dat09

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết

Gọi $F$ là chân đường cao kẻ từ $C$ của $ABC$, $GF\cap (O)=K$, $K$ khác $G$, $Q$ là trung điểm của $EF$, $L$ là hình chiếu vuông góc của $F$ trên $AD$, $H$ là điểm đối xứng với trực tâm $I$ của $ABC$ qua $L$, $AM$ là đường kính của $(O)$.

Dễ có $\Delta FEC\sim \Delta FID\Rightarrow \frac{FI}{FE}=\frac{ID}{EC} \Rightarrow \frac{FI}{2QE}=\frac{IG}{2EC}\Rightarrow\Delta FIG\sim\Delta QEC$

$\Rightarrow\angle QCE=\angle FGI=\angle ACK$. Suy ra $C,Q,K$ thẳng hàng (1)

Lại có $\frac{HF}{HG}=\frac{IF}{2DL}=\frac{FL}{2DL}.\frac{IF}{FL}=\frac{OS}{2OC}.\frac{AB}{AD}=\frac{AJ}{AM}.\frac{AB}{AD}=\frac{AJ}{AC}.\frac{AC}{AM}.\frac{AB}{AD}=\frac{AJ}{AC}$

Kết hợp với $\angle JAC=(OS,AC)=\angle ABC=\angle AIF=\angle FHG$

Suy ra $\Delta HGF\sim\Delta ACJ \Rightarrow \angle ACJ = \angle GHF = \angle ACK$. Do đó $C,J,K$ thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra $GF$ và $CJ$ cắt nhau tại $K$ thuộc $(O)$; $CJ$ chia đôi $EF$.



#3
dat09

dat09

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết

H1.png







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: my own

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh