Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, đường cao $AD, CF$. Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $OC$ cắt $BC$ tại $S$, dựng hình bình hành $AOSJ$. $AD$ cắt $(O)$ tại $G$. Chứng minh $GF$ và $CJ$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$.
P/s: một bài toán vui
Chứng minh $GF$ và $CJ$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$.
#1
Đã gửi 14-05-2022 - 20:36
#2
Đã gửi 16-07-2022 - 10:40
Gọi $F$ là chân đường cao kẻ từ $C$ của $ABC$, $GF\cap (O)=K$, $K$ khác $G$, $Q$ là trung điểm của $EF$, $L$ là hình chiếu vuông góc của $F$ trên $AD$, $H$ là điểm đối xứng với trực tâm $I$ của $ABC$ qua $L$, $AM$ là đường kính của $(O)$.
Dễ có $\Delta FEC\sim \Delta FID\Rightarrow \frac{FI}{FE}=\frac{ID}{EC} \Rightarrow \frac{FI}{2QE}=\frac{IG}{2EC}\Rightarrow\Delta FIG\sim\Delta QEC$
$\Rightarrow\angle QCE=\angle FGI=\angle ACK$. Suy ra $C,Q,K$ thẳng hàng (1)
Lại có $\frac{HF}{HG}=\frac{IF}{2DL}=\frac{FL}{2DL}.\frac{IF}{FL}=\frac{OS}{2OC}.\frac{AB}{AD}=\frac{AJ}{AM}.\frac{AB}{AD}=\frac{AJ}{AC}.\frac{AC}{AM}.\frac{AB}{AD}=\frac{AJ}{AC}$
Kết hợp với $\angle JAC=(OS,AC)=\angle ABC=\angle AIF=\angle FHG$
Suy ra $\Delta HGF\sim\Delta ACJ \Rightarrow \angle ACJ = \angle GHF = \angle ACK$. Do đó $C,J,K$ thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) suy ra $GF$ và $CJ$ cắt nhau tại $K$ thuộc $(O)$; $CJ$ chia đôi $EF$.
- DaiphongLT và Hoang72 thích
#3
Đã gửi 16-07-2022 - 17:30
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: my own
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh rằng $\widehat{O_1AO'}=\widehat{O_2AS}$.Bắt đầu bởi DaiphongLT, 10-05-2022 my own |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh