Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} ax+by=(x-y)^2\\by+cz=(y-z)^2 \\cz+ax=(z-x)^2 \end{matrix}\right.$

* * * * * 3 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1
jupiterhn9x

jupiterhn9x

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 71 Bài viết

Cho a,b,c dương. Giải hệ phương trình ẩn x,y,z

$\left\{\begin{matrix} ax+by=(x-y)^2\\by+cz=(y-z)^2 \\cz+ax=(z-x)^2 \end{matrix}\right.$



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Từ hệ đã cho, ta có $\displaystyle \begin{cases} ax=\dfrac{(x-y)^2+(z-x)^2-(y-z)^2}{2}=(x-y)(x-z) \\ by=(y-z)(y-x) \\ cz=(z-x)(z-y)\end{cases}$.

Giả sử $x\geq y\geq z$.

Do $a,b,c>0$ nên $ax\geq 0\Rightarrow x\geq 0$; $by\leq 0\Rightarrow y\leq 0; cz\geq 0\Rightarrow z\geq 0$.

Dẫn đến $y\leq 0\leq z\leq y\Rightarrow y=z=0$.

Từ đó $a=x$.

Vậy hệ đã cho có ba nghiệm $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 17-05-2022 - 18:14


#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Giả sử $x\geq y\geq z$.

Dựa vào đâu mà bạn có "giả sử" này?
 


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#4
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Dựa vào đâu mà bạn có "giả sử" này?

Em nghĩ dù $a,b,c$ có thay đổi nhưng cùng dương nên tính so sánh giữa các biểu thức sẽ không thay đổi. Nó khá giống với việc "nén" các số trong một mảng lại. Ví dụ $\{100; 200; 200; 1000\}\to \{1;2;2;3\}$: Hiệu thay đổi nhưng quan hệ so sánh vẫn được đảm bảo.

Một cách giải thích khác: Do $\frac{(x-y)(x-z)}{x}>0,\frac{(y-z)(y-x)}{y}>0,\frac{(z-x)(z-y)}{z}>0$ nên ta có thể giả sử $x\geq y\geq z$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 18-05-2022 - 11:49


#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Chỉ khi nào bạn chứng minh được rằng nếu $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)$ là nghiệm thì $(x,y,z)=(x_0,z_0,y_0),(y_0,x_0,z_0),\ldots$ (mọi hoán vị của $(x_0,y_0,z_0)$) cũng là nghiệm thì bạn mới có quyền "giả sử" sắp xếp các ẩn $x,y,z$.

Nếu bạn không chứng minh được mệnh đề trên thì "giả sử" của bạn là sai. Ví dụ $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)$ là nghiệm nhưng $(x,y,z)=(z_0,y_0,x_0)$ không là nghiệm.

Ngay trong lời giải bạn cũng có vấn đề: bạn "giả sử" $x \ge y \ge z$ nhưng lại tìm ra nghiệm $(x,y,z)=(0,0,c)$, thế thì $x=0 \ge z=c >0$ ?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Cho a,b,c dương. Giải hệ phương trình ẩn x,y,z

$\left\{\begin{matrix} ax+by=(x-y)^2\\by+cz=(y-z)^2 \\cz+ax=(z-x)^2 \end{matrix}\right.$

Từ đề bài ta có $\left\{\begin{matrix}ax=(x-y)(x-z)\\by=(y-z)(y-x)\\cz=(z-x)(z-y) \end{matrix}\right.$

Xét $3$ trường hợp :

1) Có ít nhất một trong ba số $x,y,z$ là số âm. Không làm mất tính tổng quát, giả sử $x< 0$.

    Khi đó $ax< 0\Rightarrow x,y,z$ là ba số phân biệt và $x$ nằm giữa $y$ và $z$ (tức là $y< x< z$ hoặc $z< x< y$)

    Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử tiếp $y<x<z$. Khi đó $y$ cũng âm.

    Từ đó $by< 0\Rightarrow y$ nằm giữa $x$ và $z$. Như vậy trong $3$ số $x,y,z$ phân biệt có đến $2$ số nằm giữa 2 số kia.

    Điều này không thể xảy ra $\rightarrow$ trường hợp 1 vô nghiệm.

2) Có ít nhất một trong ba số $x,y,z$ bằng $0$. Giả sử $x=0$.

    Khi đó $ax=0$. Lại có 2 trường hợp nhỏ :

    a) Chỉ một trong 2 số còn lại bằng $0$, chẳng hạn $y=0$. Từ đó suy ra $z=c$

    b) Cả ba số $x,y,z$ đều bằng $0$

    Vậy trường hợp 2 có $4$ nghiệm là $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$ và $(0,0,0)$

3) Cả $x,y,z$ đều dương $\rightarrow ax> 0,by> 0,cz> 0\rightarrow x,y,z$ là 3 số dương phân biệt.

    Vì $ax> 0\Rightarrow x$ không nằm giữa $y$ và $z$

    Tương tự, $by> 0\Rightarrow y$ không nằm giữa $x$ và $z$

    Và $cz> 0\Rightarrow z$ không nằm giữa $x$ và $y$

    Vậy là trong 3 số phân biệt không có số nào nằm giữa cả. Điều vô lý này $\rightarrow$ trường hợp 3 vô nghiệm.

 

Kết luận : Bài toán có $4$ nghiệm là $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$ và $(0,0,0)$.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-05-2022 - 07:59

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Chỉ khi nào bạn chứng minh được rằng nếu $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)$ là nghiệm thì $(x,y,z)=(x_0,z_0,y_0),(y_0,x_0,z_0),\ldots$ (mọi hoán vị của $(x_0,y_0,z_0)$) cũng là nghiệm thì bạn mới có quyền "giả sử" sắp xếp các ẩn $x,y,z$.

Nếu bạn không chứng minh được mệnh đề trên thì "giả sử" của bạn là sai. Ví dụ $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)$ là nghiệm nhưng $(x,y,z)=(z_0,y_0,x_0)$ không là nghiệm.

Ngay trong lời giải bạn cũng có vấn đề: bạn "giả sử" $x \ge y \ge z$ nhưng lại tìm ra nghiệm $(x,y,z)=(0,0,c)$, thế thì $x=0 \ge z=c >0$ ?

Nếu như vậy thì có cách giải thích khác để giả sử:

Từ hệ điều kiện ta có $\begin{cases}x(x-y)(x-z)\geq 0 \\ y(y-z)(y-x)\geq 0  \\ z(z-x)(z-y)\geq 0\end{cases}$.

Thế thì ta sẽ giải hệ điều kiện này: Hoàn toàn được phép giả sử $x\geq y\geq z$ rồi suy ra $y=z=0$.

Tức hệ điều kiện này có nghiệm $x\geq 0,y=z=0$ và các hoán vị.

Bây giờ chỉ cần xét ba trường hợp của hệ điều kiện ban đầu: $x\geq 0,y=z=0$; $y\geq 0,z=x=0$; $z\geq 0,x=y=0$ thì cho ra tổng cộng 4 nghiệm như anh chanhquocnghiem.

Ở cách 1 em thừa nhận lỗi thiếu chặt chẽ nhưng việc giả sử như vậy là hoàn toàn có cơ sở.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 19-05-2022 - 21:53


#8
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Bạn vẫn chưa hiểu vấn đề. Chỉ vì hệ điều kiện có nghiệm hoán vị thì không có nghĩa hệ ban đầu sẽ có nghiệm hoán vị.

Trong 4 nghiệm tìm ra, ngoài $(0,0,0)$, 3 nghiệm còn lại bạn có thể hoán vị không? Thử $(x,y,z)=(0,a,0)$ vào là thấy phương trình đầu tiên $ax +by=(x-y)^2$ trở thành $ab=a^2$: chưa chắc luôn đúng.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#9
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Từ bài toán ban đầu đưa đến một thảo luận rất hay. Đây cũng là một lỗi sai rất dễ gặp của học sinh. Lúc nào thì có thể giả sử $x\ge y\ge z$? Lúc nào thì chỉ có thể giả sử $x = \max(x,y,z)$? Lúc nào thì không được "giả sử"? 

 

Cần lưu ý là từ "giả sử" có thể được dùng trong nhiều hoàn cảnh khác nhau:

 

1. "Không mất tính tổng quát, giả sử A" : cụm từ "không mất tính tổng quát" là cực kỳ quan trọng, mà có lẽ là trong sách vở hiện nay, hoặc trong các bài giảng, học sinh không được lưu ý một cách cẩn thận, do đó mà thường không viết nó ra (có lẽ là do viết dài quá :D, trong tiếng anh thì chỉ cần ghi là "WLOG", viết tắt của "Without loss of generality") và vô tình cũng bỏ qua luôn ý nghĩa của nó. Việc giả sử như thế này thường được áp dụng khi chứng minh một mệnh đề nào đó, mà nếu A (điều giả sử) là đúng, thì dễ dàng suy ra mệnh đề ban đầu cũng đúng với trường hợp tổng quát.

 

2. "Giả sử" nếu đứng một mình, thì có thể hiểu là "xét trường hợp". Ví dụ khi được dùng trong một chứng minh bằng phản chứng.

 

Trong lời giải của Hoang72, anh hiểu là "giả sử" được dùng theo ý nghĩa của trường hợp 1, tất nhiên là sai. Tuy nhiên, em cũng đã nhận xét là từ đáp án cho trường hợp "$x\ge y\ge z$ có thể dễ dàng suy ra đáp án cho các trường hợp còn lại, như vậy có thể trình bày lại lời giải bằng cách dùng từ "xét trường hợp" thay vì "giả sử", thì sẽ chặt chẽ hơn.

 

Xét trường hợp $x\ge y \ge z$, ta có... Tìm được hai nghiệm thoả mãn là $(a,0,0)$ và $(0,0,0)$.

Tương tự như vậy:

- Nếu $x\ge z\ge y$ thì có hai nghiệm $(a,0,0)$ và $(0,0,0)$.

- Nếu $y\ge x\ge z$: nghiệm $(0,b,0)$ và $(0,0,0)$.

- Nếu $y\ge z\ge x$...

- Nếu $z\ge x\ge y$...

- Nếu $z\ge y\ge x$...

 


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#10
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Nhân tiện thì, bài này có thể được giải ngắn gọn như sau.

 

Cho a,b,c dương. Giải hệ phương trình ẩn x,y,z

$\left\{\begin{matrix} ax+by=(x-y)^2\\by+cz=(y-z)^2 \\cz+ax=(z-x)^2 \end{matrix}\right.$

 

Cộng phương trình đầu và cuối rồi trừ cho phương trình giữa ta được $ax=(x-y)(x-z)$, suy ra $x(y-z) = -\frac{1}{a}(x-y)(y-z)(z-x)$. Tương tự như vậy ta có hai phương trình nữa, cộng cả ba lại thì được

$$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)(x-y)(y-z)(z-x) = 0.$$

Nghĩa là ít nhất hai trong ba số $x,y,z$ bằng nhau. Từ đây dễ dàng suy ra 4 nghiệm ở trên.

 

 

Lưu ý là lời giải này có thể giải được bài toán trong trường hợp $a,b,c$ là số thực (không nhất thiết là số dương) thoả mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \neq 0$. Nếu áp dụng lời giải của chanhquocnghiem và Hoang72 ở trên thì có lẽ là cũng rất cồng kềnh đấy.

 

Câu hỏi dành cho các bạn: Giải hệ trên với $a,b,c$ là các số thực bất kì :)


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#11
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Bạn vẫn chưa hiểu vấn đề. Chỉ vì hệ điều kiện có nghiệm hoán vị thì không có nghĩa hệ ban đầu sẽ có nghiệm hoán vị.

Trong 4 nghiệm tìm ra, ngoài $(0,0,0)$, 3 nghiệm còn lại bạn có thể hoán vị không? Thử $(x,y,z)=(0,a,0)$ vào là thấy phương trình đầu tiên $ax +by=(x-y)^2$ trở thành $ab=a^2$: chưa chắc luôn đúng.

3 nghiệm còn lại không thể hoán vị.

Nhưng như trên hệ BPT $\begin{cases} x(x-y)(x-z) \geq 0 \\ y(y-z)(y-x)\geq 0 \\ z(z-x)(z-y)\geq 0\end{cases}$ là một hệ hoán vị, và ta giải hệ này trước sẽ cho ra nghiệm $x\geq 0,y=z=0$ và các hoán vị.

Như vậy nghiệm của hệ PT ban đầu cũng có dạng này.

Thực chất lời giải sau của em là để chỉ ra nghiệm của hệ ban đầu có nghiệm là hai số nào đó phải bằng nhau và bằng 0.



#12
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Vậy thì bạn "giả sử" để làm gì?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#13
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Để giải hệ BPT ạ



#14
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Nếu đưa về hệ BPT đối xứng như ở trên thì đúng là có thể giả sử $x\ge y\ge z$ để chứng minh hai trong ba số bằng nhau. Cần chú ý là nếu không phải để chứng minh mệnh đề này, mà để giải trực tiếp hệ phương trình, thì việc "giả sử" thực ra là đang xét trường hợp. Còn cụm từ "không mất tính tổng quát, giả sử..." chỉ nên được dùng khi chứng minh một mệnh đề nào đó. Tuy chỉ khác nhau một chút về câu chữ nhưng cũng nên lưu ý.

 

 

Cách trình bày 1 (không chặt chẽ):

 

Từ hệ PT ban đầu suy ra

\begin{cases} x(x-y)(x-z) \geq 0 \\ y(y-z)(y-x)\geq 0 \\ z(z-x)(z-y)\geq 0\end{cases}

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\ge y \ge z$...

 

Cách trình bày 2 (chặt chẽ):

 

Từ hệ PT ban đầu suy ra

\begin{cases} x(x-y)(x-z) \geq 0 \\ y(y-z)(y-x)\geq 0 \\ z(z-x)(z-y)\geq 0\end{cases}

Nếu $x$ lớn nhất trong ba số $x,y,z$ thì dễ dàng suy ra $y=z=0$. Tương tự với trường hợp $y$ lớn nhất hoặc $z$ lớn nhất, ta có thể kết luận ít nhất hai trong ba số $x,y,z$ phải bằng $0$...

 

Cách trình bày 3 (chặt chẽ):

 

Từ hệ PT ban đầu suy ra

\begin{cases} x(x-y)(x-z) \geq 0 \\ y(y-z)(y-x)\geq 0 \\ z(z-x)(z-y)\geq 0\end{cases}

Từ hệ BPT này, ta sẽ chứng minh ít nhất hai trong ba số $x,y,z$ bằng $0$. Thật vậy, không mất tính tổng quát, giả sử $x\ge y\ge z$...

 

 

Ở trên, Hoang72 có nói:

 

 

 

Thực chất lời giải sau của em là để chỉ ra nghiệm của hệ ban đầu có nghiệm là hai số nào đó phải bằng nhau và bằng 0.

Như vậy lập luận của Hoang72 là theo cách trình bày số 3 ở trên (và hoàn toàn đúng), nhưng em lại viết ra theo cách số 1. Khi trình bày thì nên làm rõ dòng suy luận của mình như cách số 3 để được điểm tối đa.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#15
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}ax+by=(x-y)^2\\by+cz=(y-z)^2\\cz+ax=(z-x)^2 \end{matrix}\right.$

với $a,b,c$ là các số thực bất kỳ.

 

------------------------------------------------------------------------

Ta xét các trường hợp sau :

Trường hợp 1 : $a=b=c=0$

Dễ thấy trường hợp này có nghiệm $(x,y,z)=(t,t,t), \forall t\in \mathbb{R}$

Trường hợp 2 : $a,b,c$ là số thực tùy ý thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\neq 0$ (kể cả trường hợp có $1$ hoặc $2$ số bằng $0$)

Trường hợp này có tối đa $4$ nghiệm như bạn Nesbit đã giải ở trên.

Trường hợp 3 : $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\Rightarrow ab^2+cb^2=ac^2+bc^2\Rightarrow \frac{a+b}{a+c}=\frac{b^2}{c^2}$

Từ hệ phương trình đã cho suy ra : $\left\{\begin{matrix}y^2-(2x+b)y+x^2-ax=0\\z^2-(2x+c)z+x^2-ax=0\\by+cz=(y-z)^2 \end{matrix}\right.$

Xét 2 trường hợp nhỏ :

  1) $a+b> 0,a+c> 0$

    Khi đó, với mỗi $t$ khác $0$ và thỏa mãn $t> -\frac{b^2}{4(a+b)}=-\frac{c^2}{4(a+c)}$, ta có $2$ nghiệm.

    a) Nếu $bc< 0$, $2$ nghiệm đó là

       $\left\{\begin{matrix}x=t\\y=\frac{2t+b+\sqrt{4(a+b)t+b^2}}{2}\\z=\frac{2t+c+\sqrt{4(a+c)t+c^2}}{2} \end{matrix}\right.$ và $\left\{\begin{matrix}x=t\\y=\frac{2t+b-\sqrt{4(a+b)t+b^2}}{2}\\z=\frac{2t+c-\sqrt{4(a+c)t+c^2}}{2} \end{matrix}\right.$

    b) Nếu $bc> 0$, $2$ nghiệm đó là

       $\left\{\begin{matrix}x=t\\y=\frac{2t+b+\sqrt{4(a+b)t+b^2}}{2}\\z=\frac{2t+c-\sqrt{4(a+c)t+c^2}}{2} \end{matrix}\right.$ và $\left\{\begin{matrix}x=t\\y=\frac{2t+b-\sqrt{4(a+b)t+b^2}}{2}\\z=\frac{2t+c+\sqrt{4(a+c)t+c^2}}{2} \end{matrix}\right.$

   Còn với $t=0$, ta có $3$ nghiệm $(0,b,0)$, $(0,0,c)$ và $(0,0,0)$

   Và với $t=-\frac{b^2}{4(a+b)}$, ta có nghiệm duy nhất $\left ( -\frac{b^2}{4(a+b)};\frac{b(2a+b)}{4(a+b)};\frac{c(2a+c)}{4(a+c)} \right )$

  2) $a+b< 0,a+c< 0$

     Khi đó, với mỗi $t$ khác $0$ và thỏa mãn $t< -\frac{b^2}{4(a+b)}=-\frac{c^2}{4(a+c)}$, ta có $2$ nghiệm.

    a) Nếu $bc< 0$, $2$ nghiệm đó là

       $\left\{\begin{matrix}x=t\\y=\frac{2t+b+\sqrt{4(a+b)t+b^2}}{2}\\z=\frac{2t+c+\sqrt{4(a+c)t+c^2}}{2} \end{matrix}\right.$ và $\left\{\begin{matrix}x=t\\y=\frac{2t+b-\sqrt{4(a+b)t+b^2}}{2}\\z=\frac{2t+c-\sqrt{4(a+c)t+c^2}}{2} \end{matrix}\right.$

    b) Nếu $bc> 0$, $2$ nghiệm đó là

       $\left\{\begin{matrix}x=t\\y=\frac{2t+b+\sqrt{4(a+b)t+b^2}}{2}\\z=\frac{2t+c-\sqrt{4(a+c)t+c^2}}{2} \end{matrix}\right.$ và $\left\{\begin{matrix}x=t\\y=\frac{2t+b-\sqrt{4(a+b)t+b^2}}{2}\\z=\frac{2t+c+\sqrt{4(a+c)t+c^2}}{2} \end{matrix}\right.$

     Còn với $t=0$, ta có $3$ nghiệm $(0,b,0)$, $(0,0,c)$ và $(0,0,0)$

     Và với $t=-\frac{b^2}{4(a+b)}$, ta có nghiệm duy nhất $\left ( -\frac{b^2}{4(a+b)};\frac{b(2a+b)}{4(a+b)};\frac{c(2a+c)}{4(a+c)} \right )$

Như vậy, ở trường hợp 1 và trường hợp 3, chúng ta có vô số nghiệm như đã chỉ rõ ở trên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-05-2022 - 16:13

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#16
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Cảm ơn chanhquocnghiem về lời giải  :namtay

Chưa có thời gian để kiểm tra kĩ, nhưng có vẻ đúng :D Thú thật là Nesbit cũng chưa bắt tay vào giải cụ thể (chỉ biết là có thể giải được trên nguyên lí), hẹn ít hôm nữa sẽ đăng lời giải lên sau.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#17
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Rất xin lỗi bạn chanhquocnghiem, không hiểu sao lại quên mất bài này. Vừa rồi có bạn dẫn link tới một topic khác thấy có bài viết của chanhquocnghiem nên mới sực nhớ ra.

 

Thực ra thì ý tưởng giải cho trường hợp $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca = 0$ cũng khá rõ ràng, dựa trên nhận xét của Nesbit ở trên:

 

Cộng phương trình đầu và cuối rồi trừ cho phương trình giữa ta được $ax=(x-y)(x-z)$, suy ra $x(y-z) = -\frac{1}{a}(x-y)(y-z)(z-x)$. Tương tự như vậy ta có hai phương trình nữa, cộng cả ba lại thì được

$$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)(x-y)(y-z)(z-x) = 0.$$

 

Nếu $ab+bc+ca = 0$ thì lúc cộng ba phương trình lại ta được một phương trình hiển nhiên đúng, như vậy ba phương trình đó phải phụ thuộc vào nhau, và như vậy một trong chúng có thể được suy ra từ hai phương trình còn lại. Cách làm cụ thể như sau.

 

Trước hết đưa về hệ PT tương đương

$$\left\{\begin{matrix}ax=(x-y)(x-z)\\by=(y-z)(y-x)\\cz=(z-x)(z-y) \end{matrix}\right.$$

Nhận xét rằng nếu $abc = 0$ hoặc $(x-y)(y-z)(z-x) = 0$ thì hệ có các nghiệm $(0,0,0),(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$ như ở trên. Giả sử $abc \neq 0$ và $(x-y)(y-z)(z-x) \neq 0$ (mục đích là để nhân chia thoải mái).

Từ hai PT đầu tiên ta có

$$z(x-y) = -x(y-z) - y(z-x) = \frac{1}{a}(x-y)(y-z)(z-x) + \frac{1}{b}(x-y)(y-z)(z-x) = -\frac{1}{c}(x-y)(y-z)(z-x).$$

Suy ra $cz = (z-x)(z-y)$, đây chính là PT thứ 3. Vậy hệ đã cho tương đương với 

$$\left\{\begin{matrix}ax=(x-y)(x-z)\\by=(y-z)(y-x)\end{matrix}\right.$$

Đến đây thì có nhiều hướng giải khác nhau. Có thể cố định một trong ba biến $x,y,z$ và giải theo hai biến còn lại, nhưng như thế có thể sẽ ra kết quả khá cồng kềnh, chứa căn thức, vì theo $x$ hoặc $y$ thì đều là PT bậc hai. Nesbit định để dành bước này đố các bạn giải tiếp, nhưng sợ lại quên như ở trên thì không hay lắm, nên xin phép giải luôn.

 

Ta sẽ cố định $t=x-y$, khi đó thay $y=x-t$ vào hệ sẽ được hệ PT tuyến tính theo $x$ và $z$:

$$\left\{\begin{matrix}(a-t)x + tz &=& 0\\(b+t)x - tz &=& t(t+b)\end{matrix}\right.$$

Suy ra $x=\frac{t(t+b)}{a+b}$ và $z=\frac{(t-a)(t+b)}{a+b}$, đồng thời $y=x-t = \frac{t(t-a)}{a+b}$.

 

Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left( \frac{t(t+b)}{a+b}, \frac{t(t-a)}{a+b}, \frac{(t-a)(t+b)}{a+b} \right)$.

 

Giải vội nên tính toán có thể sai sót  :namtay


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh