$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[5]{1+xtanx} - cos(sinx)}{sin(tanx)}$
Tìm giới hạn $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[5]{1+xtanx} - cos(sinx)}{sin(tanx)}$
#1
Đã gửi 24-05-2022 - 17:02
#2
Đã gửi 04-03-2024 - 17:40
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[5]{1+xtanx} - cos(sinx)}{sin(tanx)}$
Dạng vô định $\dfrac{0}{0}$
Ở đây không dùng quy tắc $\text{L'Hospital}$ bởi vì hàm quá phức tạp, ta sẽ sử dụng một công cụ tương đối mạnh đó là vô cùng bé tương đương.
Đặt giới hạn cần tính là $\ell$ và
$$\ell=\lim_{x \to 0}\dfrac{(1+x\tan(x))^{\frac{1}{5}}-1+1-\cos(\sin(x))}{\sin(\tan(x))}$$
Sử dụng các cặp vô cùng bé sau:
$$(1+u)^{\alpha}-1 \sim \alpha\cdot u,\ \sin(u) \sim u,\ \tan(u)\sim u\ \text{khi}\ u \to 0\ \text{trong một quá trình} \to a$$
Ta được:
$$(1+x\tan(x))^{\frac{1}{5}}-1 \stackrel{x \to 0}{\sim} \dfrac{1}{5}x\tan(x)\stackrel{x \to 0}{\sim}\dfrac{1}{5}x^2$$
$$1-\cos(\sin(x)) \stackrel{x \to 0}{\sim} \dfrac{1}{2}\sin^2(x) \stackrel{x \to 0}{\sim} \dfrac{1}{2}x^2$$
$$\sin(\tan(x))\stackrel{x \to 0}{\sim} \tan(x) \stackrel{x \to 0}{\sim} x$$
Thế vào ta được:
$$\ell=\lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{1}{2}x^2}{x}=0$$
Nhận xét: Ở đây mình thế vô cùng bé tương đương cho tổng hai vô cùng bé vì chúng cùng bậc nhưng không rơi vào các trường hợp "nguy hiểm" của tổng hai vô cùng bé cụ thể trong bài viết về tổng và hiệu 2 vô cùng bé có nói kĩ về vấn đề này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 04-03-2024 - 20:24
- perfectstrong, hxthanh và Baoriven thích
$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh