Đến nội dung

Hình ảnh

có bao nhiêu cách trả tiền khi mua một món hàng giá 127 đồng?

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Có không hạn chế những tờ tiền mệnh giá 1, 5, 10, 20, 50 và 100 đồng. Hỏi có bao nhiêu cách trả tiền khi mua một món hàng giá 127 đồng?
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Không bạn nào có hứng thú giải bài này, thôi thì xin trình bày suy nghĩ của mình như sau :
Trước hết ta có nhận xét: số cách trả tiền món hàng giá 127 đồng cũng là số cách trả tiền món hàng giá 125 đồng.
Ta có hàm sinh cho các cách trả tiền là :
$G\left ( x \right )=\frac{1}{\left ( 1-x \right )\left ( 1-x^{5} \right )\left ( 1-x^{10} \right )\left ( 1-x^{20} \right )\left ( 1-x^{50} \right )\left ( 1-x^{100} \right )}=\left ( 1+x+x^2+x^3+x^4 \right )\frac{1}{\left ( 1-x^{5} \right )^2\left ( 1-x^{10} \right )\left ( 1-x^{20} \right )\left ( 1-x^{50} \right )\left ( 1-x^{100} \right )}$
Ký hiệu $[x^n]$ là hệ số của số hạng $x^n$ trong chuỗi số thì ta được :
$\left [ x^{125} \right ]G\left ( x \right )=\left [ x^{125} \right ]\left ( 1+x+x^2+x^3+x^4 \right ) \frac{1}{\left ( 1-x^{5} \right )^2\left ( 1-x^{10} \right )\left ( 1-x^{20} \right )\left ( 1-x^{50} \right )\left ( 1-x^{100} \right )}$
Ta loại các số hạng không có bậc là bội của 5 và đơn giản bậc các số hạng cho 5 ta có:
$\left [ x^{125} \right ]G\left ( x \right )=\left [ x^{25} \right ]\frac{1}{\left ( 1-x \right )^2\left ( 1-x^{2} \right )\left ( 1-x^{4} \right )\left ( 1-x^{10} \right )\left ( 1-x^{20} \right )} =\left[ x^{25} \right ]\frac{A\left ( x \right )}{\left ( 1-x^{20} \right )^{6}}$
Trong đó $A\left ( x \right )=A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+...+A_{82}x^{82}$
$A\left ( x \right )$ là đa thức có bậc là 82, ta chỉ quan tâm đến 2 số hạng đó là :
$...+A_{25}x^{25}+...+A_{5}x^{5}+... =...+588x^{25}+ ...+14x^{5}+... $
Mặt khác,
$\frac{1}{\left ( 1-x^{20} \right )^{6}}=\sum_{k=0}^{\infty }\binom{k+5}{5}x^{20k}$
Như vậy, hệ số cần tìm cũng là số cách trả tiền khi mua món hàng giá 127 đồng là :
$588\cdot\binom{0+5}{5}+14\cdot\binom{1+5}{5}=588+84=\boxed {672}$

Hic, không biết đúng hôn nữa! Xin các bạn cho ý kiến. Cám ơn ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 12-06-2022 - 22:14

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Ta loại các số hạng không có bậc là bội của 5 và đơn giản bậc các số hạng cho 5 ta có:
$\left [ x^{125} \right ]G\left ( x \right )=\left [ x^{25} \right ]\frac{1}{\left ( 1-x \right )^2\left ( 1-x^{2} \right )\left ( 1-x^{4} \right )\left ( 1-x^{10} \right )\left ( 1-x^{20} \right )} =\left[ x^{25} \right ]\frac{A\left ( x \right )}{\left ( 1-x^{20} \right )^{6}}$
Trong đó $A\left ( x \right )=A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+...+A_{82}x^{82}$

Chỗ này em lý giải vì sao có thể loại các số hạng không có bậc là bội của 5 được không? Một phản ví dụ dễ thấy:

\[\left[ {{x^5}} \right]\left( {\left( {{x^2} + {x^3}} \right)\left( {x + {x^4}} \right)} \right) \ne \left( {\left[ {{x^5}} \right]\left( {{x^2} + {x^3}} \right)} \right)\left( {\left[ {{x^5}} \right]\left( {x + {x^4}} \right)} \right)\]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#4
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Chỗ này em lý giải vì sao có thể loại các số hạng không có bậc là bội của 5 được không? Một phản ví dụ dễ thấy:
\[\left[ {{x^5}} \right]\left( {\left( {{x^2} + {x^3}} \right)\left( {x + {x^4}} \right)} \right) \ne \left( {\left[ {{x^5}} \right]\left( {{x^2} + {x^3}} \right)} \right)\left( {\left[ {{x^5}} \right]\left( {x + {x^4}} \right)} \right)\]

Thưa anh, em nghĩ như thế này :
Khai triển $\frac{1}{\left ( 1-x^{20} \right )^{6}}$ là một đa thức mà các số hạng có dạng $x^{20k}$ trong khi khai triển của $ A(x) $ là các số hạng dạng $x^j$. Vì ta cần tính $[x^{25}]$ nên ta loại gần hết các số hạng và chỉ giữ lại các số hạng $x^j$ thỏa $j+20k=25$.
Với $k=0,1$ suy ra $j=25, 5$ nên em chỉ tính $A_{25}x^{25}=588x^{25}$ và $A_{5}x^{5}=14x^{5}$ đó anh!
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#5
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Hay là ở chỗ này :
$\left [ x^{125} \right ]G\left ( x \right )=\left [ x^{125} \right ]\overbrace{\left ( 1+x+x^2+x^3+x^4 \right )}^{C}\overbrace{ \frac{1}{\left ( 1-x^{5} \right )^2\left ( 1-x^{10} \right )\left ( 1-x^{20} \right )\left ( 1-x^{50} \right )\left ( 1-x^{100} \right )}}^{D}$
Các số hạng trong khai triển của $D$ đều có dạng $x^{5k}$. Vì ta cần tính $\left [ x^{125} \right ]$ nên trong $C$ chỉ có các số hạng dạng $x^{5j}$ mới tham gia trong việc tính toán này, cụ thể là số hạng tự do của $C$ đó là $1x^{0}$ ( ta không xét các số hạng $x, x^2, x^3, x^4$). Cho nên ta có :
$\left [ x^{125} \right ]G\left ( x \right )=\left [ x^{125} \right ] \frac{1}{\left ( 1-x^{5} \right )^2\left ( 1-x^{10} \right )\left ( 1-x^{20} \right )\left ( 1-x^{50} \right )\left ( 1-x^{100} \right )}$ . Sau đó ta thực hiện đơn giản các bậc với 5 như đã trình bày trong lời giải trên.
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Có không hạn chế những tờ tiền mệnh giá 1, 5, 10, 20, 50 và 100 đồng. Hỏi có bao nhiêu cách trả tiền khi mua một món hàng giá 127 đồng?

Bổ sung một chút cho nó đầy đủ : "...có bao nhiêu cách trả đủ số tiền mà không phải nhận lại tiền thối khi mua món hàng giá $127$ đồng ?"


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Bổ sung một chút cho nó đầy đủ : "...có bao nhiêu cách trả đủ số tiền mà không phải nhận lại tiền thối khi mua món hàng giá $127$ đồng ?"

Vâng, như thế thì đề sẽ đầy đủ, rõ ràng hơn, không gây thắc mắc cho người đọc. Em xin ghi nhận. Cám ơn anh.
Behind the scene : Đôi lời tâm sự về nguyên nhân ra đời bài toán này (Gớm, làm như hoàn cảnh ra đời một tác phẩm văn học vậy!).
Thưa anh, số là trong khi lang thang trên mạng em thỉnh thoảng gặp những bài toán dạng đổi tiền như thế này nhưng trong đó, số tiền cần đổi luôn luôn là số tròn chục hoặc tròn trăm, tròn ngàn...Em nghĩ nếu số tiền cần đổi là bất kỳ (127 đồng chẳng hạn) thì sao, có giải được không và sẽ gặp khó khăn gì. Nên em suy nghĩ và mạnh dạn post bài lên forum để mọi người góp ý, mà nhờ đó em mới học hỏi được điều hay, lẽ phải đó anh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-06-2022 - 13:18

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#8
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Còn phụ thuộc vào giá trị của những đồng tiền "cơ bản" mà em có. 1, 5, 10 đồng đổi 100 đồng thì cũng y như 1000, 5000, 10 000 đổi 100 000. Phương pháp không có gì khác cả :)

Nói mới nhớ ngày xưa, thầy mình có ra một bài toán rất đơn giản để mở đầu:

 

Chứng minh rằng luôn luôn có thể đổi $n$ ngàn đồng $(n \ge 4)$ bằng những tờ 5 ngàn và 2 ngàn đồng.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#9
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
À,ra thế. Cám ơn anh.
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#10
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Giải lại bài toán này bằng… tay!
Xét phương trình nghiệm nguyên không âm:
$a+5b+10c+20d+50e+100f=127$
Đặt $a=5g+2$, ta có pt tương đương
$g+b+2c+4d+10e+20f=25$
Ứng với mỗi bộ $(f,e,d,c)$ thì
$(b,g)$ có $(26-20f-10e-4d-2c)$ nghiệm
Do đó số nghiệm cần tính là
\begin{align*} &=\sum_{f=0}^1\sum_{e=0}^{\left\lfloor\frac{5-4f}2 \right\rfloor}\sum_{d=0}^{\left\lfloor\frac{25-20f-10e}4 \right\rfloor}\sum_{c=0}^{12-10f-5e-2d} (26-20f-10e-4d-2c) \\
&=\sum_{f=0}^1\sum_{e=0}^{\left\lfloor\frac{5-4f}2 \right\rfloor}\sum_{d=0}^{\left\lfloor\frac{25-20f-10e}4 \right\rfloor} 2{14-10f-5e-2d\choose 2}
\end{align*}
$\bullet\;$ TH $f=0;\;e=0$ $\Rightarrow \sum_{d=0}^6 (14-2d)(13-2d)=504$
$\bullet\;$ TH $f=0;\;e=1$ $\Rightarrow \sum_{d=0}^3 (9-2d)(8-2d)=140$
$\bullet\;$ TH $f=0;\;e=2$ $\Rightarrow \sum_{d=0}^1 (4-2d)(3-2d)=14$
$\bullet\;$ TH $f=1\Rightarrow e=0$ $\Rightarrow \sum_{d=0}^1 (4-2d)(3-2d)=14$

Tổng cộng pt có: $504+140+14+14=\boxed{\large 672}$ nghiệm.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh