Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm điều kiện cần và đủ của $a$ và $b$ để $f(a+b) = f(a)+f(b)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Nhẹ nhàng thể dục đầu tuần :)

 

Cho hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(1) = 1 ; f(2) = 3$ và với $n \geq 3$ thì:

 

$ f(n) = \max \{ f(r) + f(n-r) |  1 \leq r \leq n-1 \}$

 

Tìm điều kiện cần và đủ của $2$ số nguyên dương $a$ và $b$ để $f(a+b) = f(a)+f(b)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 13-06-2022 - 22:29

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Ta sẽ chứng minh \begin{equation}\begin{cases} f(x)=\frac{3x}{2} \text{ nếu x chẵn}\\ f(x)=\frac{3(x-1)}{2}+1 \text{ nếu x lẻ}\end{cases}\end{equation} bằng quy nạp.

Với $n\in\{1;2\}$ thì (1) đúng.

Giả sử (1) đúng với $1;2;...;k$ ($k$ chẵn). Ta chứng minh (1) cũng đúng với $k + 1$ và $k + 2$.

Với mọi $r,s;1\leq r,s\leq k$ thoả mãn $r+s=k+1$ thì $r,s$ khác tính chẵn, lẻ. Không mất tính tổng quát giả sử $r$ chẵn, $s$ lẻ.

Khi đó theo giả thiết quy nạp, $f(r)+f(s)=\frac{3r}{2}+\frac{3(s-1)}{2}+1=\frac{3(r+s)}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3(k+1)}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3k}{2}+1$.

Do đó tổng $f(r)+f(s)$ không phụ thuộc vào giá trị của $r,s$ nên $f(k+1)=\frac{3k}{2}+1$.

Đồng thời, với mọi $h,l;1 \leq h,l<k+2$ thoả mãn $h+l=k+2$ thì $h,l$ cùng tính chẵn, lẻ.

$\bullet$ $h,l$ cùng chẵn: Khi đó $f(h)+f(l)=\frac{3h}{2}+\frac{3l}{2}=\frac{3(k+2)}{2}$

$\bullet$ $h,l$ cùng lẻ: Khi đó $f(h)+f(l)=\frac{3(h-1)}{2}+\frac{3(l-1)}{2}+2=\frac{3(k+2)}{2}-1=\frac{3k+4}{2}$.

Mà $f(k+2)=\max\{f(h)+f(l)|1\leq h,l\leq k+1;h+l=k+2\}$ nên $f(k+2)=\frac{3(k+2)}{2}$.

Từ đó theo giả thuyết quy nạp (1) được chứng minh.

Mặt khác, cũng từ phép quy nạp trên, ta thấy điều kiện cần và đủ của $a,b$ để $f(a+b)=f(a)+f(b)$ là $a,b$ khác tính chẵn, lẻ hoặc $a,b$ cùng chẵn.

Vậy điều kiện cần và đủ của $a,b$ để $f(a+b)=f(a)+f(b)$ là $a,b$ không cùng lẻ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 15-06-2022 - 07:41





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh