SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2022 – 2023
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Chuyên)
Ngày thi: 03/06/2022
Thời gian: 150 phút
Bài 1. Cho biểu thức $A=\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} +\frac{a}{b-a}\right ):\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} +\frac{a}{a+b+2\sqrt{ab}}\right )-\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{b-a}$ với a và b là các số thực dương khác nhau.
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của $B=\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} +\frac{a}{b-a}\right ):\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{a}{a+b+2\sqrt{ab}} \right )$ khi $a=7-4\sqrt{3}$ và $b=7+4\sqrt{3}$
Bài 2. Cho phương trình $x^{2}-2mx+m-2=0$ (m là tham số)
a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
b) Gọi $x_{1};x_{2}$ là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức $M=\frac{-2022}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6x_{1}x_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. a) Giải phương trình $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt{x\left ( 1-x \right )}=1$
b) Chứng minh rằng $A=a^{7}-a$ chia hết cho 7, với mọi $a \in \mathbb{Z}$.
Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm của BC; BE, CF là các đường cao của tam giác ABC (E Î AC; F Î AB). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Gọi N, P lần lượt là giao điểm của BS với EF, AS với đường tròn (O) (P khác A)
a) Chứng minh rằng MN vuông góc với BF
b) Chứng minh rằng $AB.CP=AC.BP$
c) Chứng minh rằng $\angle CAM=\angle BAP$