Đến nội dung


Hình ảnh

$\sum \frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} \geq \frac{1}{\sqrt{2(ab+bc+ca)}}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 thanhng2k7

thanhng2k7

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K32 Toán , THPT Chuyên Bắc Giang
  • Sở thích:Allain

Đã gửi 15-06-2022 - 22:27

$a,b,c\geq 0;a+b+c=4$ và không có số nào đồng thời bằng 0 ; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR

$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{2(ab+bc+ca)}}$


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học :) :) :)


#2 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 16-06-2022 - 10:47

$a,b,c\geq 0;a+b+c=4$ và không có số nào đồng thời bằng 0 ; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR

$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{2(ab+bc+ca)}}$

$LHS \geq \frac{1}{\sum a\sqrt{b^{2}+c^{2}}}$
Ta can chung minh : $\sqrt{2(ab+bc+ca)}\geq \sum a\sqrt{b^{2}+c^{2}}$

$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq \left (\sum a\sqrt{b^{2}+c^{2}} \right )^{2}$

Ta lai co : $\left (\sum a\sqrt{b^{2}+c^{2}} \right )^{2}\leq \sum a.\left ( \sum ab^{2}+\sum ac^{2} \right )$

Hay la quy ve chung minh : $2(ab+bc+ca)\geq \sum a.\left ( \sum ab^{2}+\sum ac^{2} \right )$

$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq \sum a.\left ( \sum ab^{2}+\sum ac^{2} \right )$

$\Leftrightarrow \sum ab^{3}+\sum a^{3}b\geq 2\sum a^{2}b^{2}$ 
Ma dieu nay luon dung => QED



#3 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 08-07-2022 - 10:52

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có : 
$\left ( \sum \frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} \right )^{2}.\left [ \sum a \left ( b+c \right ) \right ] .\left ( \sum \frac{a\left ( b^{2}+c^{2} \right )}{b+c} \right ) \geq \left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )^{4}=1$

Cần chứng minh : $\sum \frac{a\left ( b^{2}+c^{2} \right )}{b+c}\leq 1$

$\Leftrightarrow \sum a\left ( b+c \right )\leq 2abc\left ( \sum \frac{1}{b+c} \right ) + a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$Cauchy-Schwaz : 2abc.\left ( \sum \frac{1}{a+b} \right )\geq \frac{9abc}{a+b+c} \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc.\left ( \sum \frac{1}{a+b} \right )\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca) \left [ Schur \right ]$

$\Rightarrow Q.E.D$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh