Cuối tuần thay đổi không khí.
Tính tổng
$$S=\binom{n}{0}-\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}-\binom{n-3}{3}+...$$
Tính tổng $$S=\binom{n}{0}-\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}-\binom{n-3}{3}+...$$
Bắt đầu bởi Nobodyv3, 17-06-2022 - 09:34
#2
Đã gửi 20-06-2022 - 16:09
Ta có :
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }Sx^{n}= \sum_{n=0}^{\infty }\sum_{k=0}^{n}\left ( -1 \right )^{k}\binom{n-k}{k}x^{n}=\\
\sum_{k=0}^{\infty }\sum_{n=k}^{\infty }\left ( -1 \right )^{k}\binom{n-k}{k}x^{n}=\sum_{k=0}^{\infty }\sum_{n=0}^{\infty }\left ( -1 \right )^{k}\binom{n}{k}x^{n+k}=\\
\sum_{n=0}^{\infty }\left (1 -x \right )^{n}x^n=\frac{1}{1-\left ( 1-x \right )x}=\\
\frac{1}{1-x+x^{2}}=\frac{1+x}{1+x^{3}}=\\
\left (1+x \right )\left ( 1-x^{3}+x^{6}-x^{9}+...\right )=1+x-x^{3} -x^{4}+x^{6}+x^{7}-x^{9}-x^{10}+...$
Vậy tổng là :
$S=\left\{\begin{matrix}
1,& n\equiv 0,1\pmod 6\\
0, &n\equiv 2,5\pmod 6 \\
-1 &n\equiv 3,4\pmod 6
\end{matrix}\right.$
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }Sx^{n}= \sum_{n=0}^{\infty }\sum_{k=0}^{n}\left ( -1 \right )^{k}\binom{n-k}{k}x^{n}=\\
\sum_{k=0}^{\infty }\sum_{n=k}^{\infty }\left ( -1 \right )^{k}\binom{n-k}{k}x^{n}=\sum_{k=0}^{\infty }\sum_{n=0}^{\infty }\left ( -1 \right )^{k}\binom{n}{k}x^{n+k}=\\
\sum_{n=0}^{\infty }\left (1 -x \right )^{n}x^n=\frac{1}{1-\left ( 1-x \right )x}=\\
\frac{1}{1-x+x^{2}}=\frac{1+x}{1+x^{3}}=\\
\left (1+x \right )\left ( 1-x^{3}+x^{6}-x^{9}+...\right )=1+x-x^{3} -x^{4}+x^{6}+x^{7}-x^{9}-x^{10}+...$
Vậy tổng là :
$S=\left\{\begin{matrix}
1,& n\equiv 0,1\pmod 6\\
0, &n\equiv 2,5\pmod 6 \\
-1 &n\equiv 3,4\pmod 6
\end{matrix}\right.$
- perfectstrong và hxthanh thích
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#3
Đã gửi 04-08-2022 - 15:09
Đặt $S_n=\sum_{k\ge 0}(-1)^k \binom{n-k}{k}$Cuối tuần thay đổi không khí.
Tính tổng
$$S=\binom{n}{0}-\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}-\binom{n-3}{3}+...$$
Ta có
$S_{n+1}=\sum_{k\ge 0}(-1)^k \binom{n+1-k}{k}=\sum_{k\ge 0}(-1)^k\left(\binom{n-k}{k}+\binom{n-k}{k-1}\right)$
$S_{n+1}=\sum _{k\ge 0}(-1)^k \binom{n-k}{k}-\sum _{k\ge 1}(-1)^{k-1}\binom{(n-1)-(k-1)}{k-1} $
$S_{n+1}=\sum _{k\ge 0}(-1)^k \binom{n-k}{k}-\sum _{k\ge 0}(-1)^{k}\binom{n-1-k}{k} $
$S_{n+1}=S_n-S_{n-1}$
Với các giá trị đầu dễ dàng tính được $S_1=1, S_2=0$
Do đó $$S_n=\frac{2}{\sqrt 3}\sin\left(\frac{(n+1)\pi}{3}\right)$$
- perfectstrong, DOTOANNANG và Nobodyv3 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh