Đến nội dung

Hình ảnh

Tính tổng $$S=\binom{n}{0}-\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}-\binom{n-3}{3}+...$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Cuối tuần thay đổi không khí.
Tính tổng
$$S=\binom{n}{0}-\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}-\binom{n-3}{3}+...$$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Ta có :
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }Sx^{n}= \sum_{n=0}^{\infty }\sum_{k=0}^{n}\left ( -1 \right )^{k}\binom{n-k}{k}x^{n}=\\
\sum_{k=0}^{\infty }\sum_{n=k}^{\infty }\left ( -1 \right )^{k}\binom{n-k}{k}x^{n}=\sum_{k=0}^{\infty }\sum_{n=0}^{\infty }\left ( -1 \right )^{k}\binom{n}{k}x^{n+k}=\\
\sum_{n=0}^{\infty }\left (1 -x \right )^{n}x^n=\frac{1}{1-\left ( 1-x \right )x}=\\
\frac{1}{1-x+x^{2}}=\frac{1+x}{1+x^{3}}=\\
\left (1+x  \right )\left ( 1-x^{3}+x^{6}-x^{9}+...\right )=1+x-x^{3} -x^{4}+x^{6}+x^{7}-x^{9}-x^{10}+...$
Vậy tổng là :
$S=\left\{\begin{matrix}
1,& n\equiv 0,1\pmod 6\\
0, &n\equiv 2,5\pmod 6 \\
-1 &n\equiv 3,4\pmod 6
\end{matrix}\right.$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#3
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Cuối tuần thay đổi không khí.
Tính tổng
$$S=\binom{n}{0}-\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}-\binom{n-3}{3}+...$$

Đặt $S_n=\sum_{k\ge 0}(-1)^k \binom{n-k}{k}$
Ta có
$S_{n+1}=\sum_{k\ge 0}(-1)^k \binom{n+1-k}{k}=\sum_{k\ge 0}(-1)^k\left(\binom{n-k}{k}+\binom{n-k}{k-1}\right)$
$S_{n+1}=\sum _{k\ge 0}(-1)^k \binom{n-k}{k}-\sum _{k\ge 1}(-1)^{k-1}\binom{(n-1)-(k-1)}{k-1} $
$S_{n+1}=\sum _{k\ge 0}(-1)^k \binom{n-k}{k}-\sum _{k\ge 0}(-1)^{k}\binom{n-1-k}{k} $
$S_{n+1}=S_n-S_{n-1}$
Với các giá trị đầu dễ dàng tính được $S_1=1, S_2=0$
Do đó $$S_n=\frac{2}{\sqrt 3}\sin\left(\frac{(n+1)\pi}{3}\right)$$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh