Đến nội dung


Hình ảnh

Tính tổng $$S=\binom{n}{0}-\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}-\binom{n-3}{3}+...$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Nobodyv3

Nobodyv3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 152 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 17-06-2022 - 09:34

Cuối tuần thay đổi không khí.
Tính tổng
$$S=\binom{n}{0}-\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}-\binom{n-3}{3}+...$$
HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#2 Nobodyv3

Nobodyv3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 152 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 20-06-2022 - 16:09

Ta có :
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }Sx^{n}= \sum_{n=0}^{\infty }\sum_{k=0}^{n}\left ( -1 \right )^{k}\binom{n-k}{k}x^{n}=\\
\sum_{k=0}^{\infty }\sum_{n=k}^{\infty }\left ( -1 \right )^{k}\binom{n-k}{k}x^{n}=\sum_{k=0}^{\infty }\sum_{n=0}^{\infty }\left ( -1 \right )^{k}\binom{n}{k}x^{n+k}=\\
\sum_{n=0}^{\infty }\left (1 -x \right )^{n}x^n=\frac{1}{1-\left ( 1-x \right )x}=\\
\frac{1}{1-x+x^{2}}=\frac{1+x}{1+x^{3}}=\\
\left (1+x  \right )\left ( 1-x^{3}+x^{6}-x^{9}+...\right )=1+x-x^{3} -x^{4}+x^{6}+x^{7}-x^{9}-x^{10}+...$
Vậy tổng là :
$S=\left\{\begin{matrix}
1,& n\equiv 0,1\pmod 6\\
0, &n\equiv 2,5\pmod 6 \\
-1 &n\equiv 3,4\pmod 6
\end{matrix}\right.$
HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh