Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x+y+z=4xyz.
Chứng minh: $\frac{x}{z\sqrt{4x^{2}+1}}+\frac{y}{x\sqrt{4y^{2}+1}}+\frac{z}{y\sqrt{4z^{2}+1}}\geq \frac{3}{2}$
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x+y+z=4xyz.
Chứng minh: $\frac{x}{z\sqrt{4x^{2}+1}}+\frac{y}{x\sqrt{4y^{2}+1}}+\frac{z}{y\sqrt{4z^{2}+1}}\geq \frac{3}{2}$
Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c=>ab+bc+ca=4$
$LHS=\sum \frac{c}{\sqrt{4+a^{2}}}=\sum \frac{c}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\geq 2\sum \frac{c}{2a+b+c}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{4}{3}(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$
Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c=>ab+bc+ca=4$
$LHS=\sum \frac{c}{\sqrt{4+a^{2}}}=\sum \frac{c}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\geq 2\sum \frac{c}{2a+b+c}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{4}{3}(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$
Anh cho em hỏi là chỗ $2\sum \frac{c}{2a+b+c}\geq 2\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}$ dùng bất đẳng thức gì thế ạ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ATHEIST: 18-06-2022 - 10:16
Nếu em sai xin chỉ giáo ạ!
Anh cho em hỏi là chỗ $2\sum \frac{c}{2a+b+c}\geq 2\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}$ dùng bất đẳng thức gì thế ạ?
Em mới lớp 8 thôi ạ, không phải anh đâu ạ =))
Chỗ đó em dùng cauchy-schwarz dạng phân thức $\sum \frac{c}{2a+b+c}=\sum \frac{c^{2}}{2ac+bc+c^{2}} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh