Đến nội dung


Hình ảnh

$\frac{f(m;n+m)}{f(m;n)} = \frac{m+n}{n}$ với mọi $ m;n \in \mathbb{N}^{*}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1593 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 18-06-2022 - 14:24

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*} \mapsto \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn đồng thời $3$ điều kiện:

 

$1)$ $f(n;n) = n$ với mọi $ n \in \mathbb{N}^{*}$

$2)$ $ f(n;m) = f(m;n)$ với mọi $ m;n \in \mathbb{N}^{*}$

$3)$ $\frac{f(m;n+m)}{f(m;n)} = \frac{m+n}{n}$ với mọi $ m;n \in \mathbb{N}^{*}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 18-06-2022 - 14:24

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 19-06-2022 - 22:34

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*} \mapsto \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn đồng thời $3$ điều kiện:

 

$(1)$ $f(n;n) = n$ với mọi $ n \in \mathbb{N}^{*}$

$(2)$ $ f(n;m) = f(m;n)$ với mọi $ m;n \in \mathbb{N}^{*}$

$(3)$ $\frac{f(m;n+m)}{f(m;n)} = \frac{m+n}{n}$ với mọi $ m;n \in \mathbb{N}^{*}$

 

Thay $n$ bằng $km$ với $k \in \mathbb{N}^*$ vào (3), ta có \[\frac{{f\left( {m;\left( {k + 1} \right)m} \right)}}{{f\left( {m;km} \right)}} = \frac{{k + 1}}{k}\]

Kết hợp với $f(m;m)=m$ và quy nạp, ta có \[f\left( {m;km} \right) = f\left( {km;m} \right) = km\left( 4 \right)\]

Cho $m=1$ thì ta có $f(1;k)=f(k;1)=k \forall k \in \mathbb{N}^*$.

Ta sẽ chứng minh hàm $f$ cần tìm chính là hàm bội chung nhỏ nhất: $f(x;y)=LCM(x;y) \forall x,y \in \mathbb{N}^*$ bằng phương pháp quy nạp. (5)

Ta có (5) đã đúng với $x,y \le N=1$. Giả sử (5) đúng đến $N=N_0$, ta chứng minh (5) cũng đúng với $N=N_0 + 1$.

Nếu $x=y=N_0+1$ thì (5) hiển nhiên đúng theo (1).

Nếu $x,y \le N_0$ thì (5) đúng theo giả thiết quy nạp. Ta chỉ cần xét trường hợp 1 trong hai số bằng $N_0+1$.

Thay $(m;n)=(y;N_0+1)$ với $1 \le y \le N_0$ vào (3), ta có:

\[f\left( {y;{N_0} + 1} \right) = f\left( {y;{N_0} + 1 - y} \right)\frac{{{N_0} + 1}}{{{N_0} + 1 - y}} = \frac{{LCM\left( {y;{N_0} + 1 - y} \right)}}{{{N_0} + 1 - y}}\left( {{N_0} + 1} \right)\]

Mà chú ý rằng:

\[\begin{align*}GCD\left( {y;{N_0} + 1} \right) & = GCD\left( {y;{N_0} + 1 - y} \right) \\\Rightarrow \frac{{y\left( {{N_0} + 1} \right)}}{{LCM\left( {y;{N_0} + 1} \right)}} & =\frac{{y\left( {{N_0} + 1 - y} \right)}}{{LCM\left( {y;{N_0} + 1 - y} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{{LCM\left( {y;{N_0} + 1 - y} \right)}}{{{N_0} + 1 - y}}\left( {{N_0} + 1} \right) & =LCM\left( {y;{N_0} + 1} \right)\\ \Rightarrow f\left( {y;{N_0} + 1} \right) & =LCM\left( {y;{N_0} + 1} \right)\end{align*}\]

Vậy (5) đúng đến $N_0 + 1$. Theo nguyên lý quy nạp, (5) đúng với mọi $x;y$ nguyên dương.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh