Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*} \mapsto \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn đồng thời $3$ điều kiện:
$(1)$ $f(n;n) = n$ với mọi $ n \in \mathbb{N}^{*}$
$(2)$ $ f(n;m) = f(m;n)$ với mọi $ m;n \in \mathbb{N}^{*}$
$(3)$ $\frac{f(m;n+m)}{f(m;n)} = \frac{m+n}{n}$ với mọi $ m;n \in \mathbb{N}^{*}$
Thay $n$ bằng $km$ với $k \in \mathbb{N}^*$ vào (3), ta có \[\frac{{f\left( {m;\left( {k + 1} \right)m} \right)}}{{f\left( {m;km} \right)}} = \frac{{k + 1}}{k}\]
Kết hợp với $f(m;m)=m$ và quy nạp, ta có \[f\left( {m;km} \right) = f\left( {km;m} \right) = km\left( 4 \right)\]
Cho $m=1$ thì ta có $f(1;k)=f(k;1)=k \forall k \in \mathbb{N}^*$.
Ta sẽ chứng minh hàm $f$ cần tìm chính là hàm bội chung nhỏ nhất: $f(x;y)=LCM(x;y) \forall x,y \in \mathbb{N}^*$ bằng phương pháp quy nạp. (5)
Ta có (5) đã đúng với $x,y \le N=1$. Giả sử (5) đúng đến $N=N_0$, ta chứng minh (5) cũng đúng với $N=N_0 + 1$.
Nếu $x=y=N_0+1$ thì (5) hiển nhiên đúng theo (1).
Nếu $x,y \le N_0$ thì (5) đúng theo giả thiết quy nạp. Ta chỉ cần xét trường hợp 1 trong hai số bằng $N_0+1$.
Thay $(m;n)=(y;N_0+1)$ với $1 \le y \le N_0$ vào (3), ta có:
\[f\left( {y;{N_0} + 1} \right) = f\left( {y;{N_0} + 1 - y} \right)\frac{{{N_0} + 1}}{{{N_0} + 1 - y}} = \frac{{LCM\left( {y;{N_0} + 1 - y} \right)}}{{{N_0} + 1 - y}}\left( {{N_0} + 1} \right)\]
Mà chú ý rằng:
\[\begin{align*}GCD\left( {y;{N_0} + 1} \right) & = GCD\left( {y;{N_0} + 1 - y} \right) \\\Rightarrow \frac{{y\left( {{N_0} + 1} \right)}}{{LCM\left( {y;{N_0} + 1} \right)}} & =\frac{{y\left( {{N_0} + 1 - y} \right)}}{{LCM\left( {y;{N_0} + 1 - y} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{{LCM\left( {y;{N_0} + 1 - y} \right)}}{{{N_0} + 1 - y}}\left( {{N_0} + 1} \right) & =LCM\left( {y;{N_0} + 1} \right)\\ \Rightarrow f\left( {y;{N_0} + 1} \right) & =LCM\left( {y;{N_0} + 1} \right)\end{align*}\]
Vậy (5) đúng đến $N_0 + 1$. Theo nguyên lý quy nạp, (5) đúng với mọi $x;y$ nguyên dương.