Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 53 trả lời

#1 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 18-06-2022 - 20:14

Bài toán 1. (Sáng tác) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$ nội tiếp $(O)$. $T$ là giao điểm hai tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $OH$ tại $L$. Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OH$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh rằng $OK$ vuông góc $TL$.

Screenshot (1472).png


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 18-06-2022 - 21:38

Bài toán 2. (Trần Quang Hùng) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $DE,DF$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. Gọi $R$ là trung điểm của $PQ$. $OH$ cắt $AR$ tại $L$. Gọi $N$ là tâm đường tròn Euler của $\Delta ABC$. Chứng minh rằng trực tâm của $\Delta ALN$ nằm trên $EF$.

Screenshot (1475).png

 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 19-06-2022 - 12:09

Bài toán 3. (Sưu tầm) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $L$ là hình chiếu của $H$ lên $EF$. $HL$ cắt $DE,DF$ tại $Q,P$. $BQ$ cắt $CP$ tại điểm $S$. Chứng minh rằng $SH\bot DL$

Screenshot (1479).png


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#4 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:(^_^)

Đã gửi 19-06-2022 - 12:52

Bài toán 1. (Sáng tác) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$ nội tiếp $(O)$. $T$ là giao điểm hai tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $OH$ tại $L$. Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OH$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh rằng $OK$ vuông góc $TL$.

attachicon.gif Screenshot (1472).png

 

Lúc đầu đi chứng minh lại bài toán ông cho thì hơi lâu nhưng bài này có cách giải đơn giản không liên quan:

Gọi $AK$ cắt $(O)$ tại $M$ thì $LM$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Nhận thấy: $\overline{KA}.\overline{KM}=\overline{KB}.\overline{KC}$.

Do đó $\mathcal{P}_{K/(OL)}=\mathcal{P}_{K/(OT)}$.

Suy ra $OK$ là trục đẳng phương của $(OL)$ và $(OT)$ nên $OK\perp LT$.

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#5 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:(^_^)

Đã gửi 19-06-2022 - 12:56

Bài toán 4: Cho tam giác ABC, hai điểm P, Q đẳng giác trong tam giác ABC. Gọi D, E, F; X, Y, Z lần lượt là hình chiếu của P, Q trên BC, CA, AB. EF cắt BC tại G. Khi đó PG vuông góc với AX.



#6 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 19-06-2022 - 14:26

Bài toán 5. (Sưu tầm) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$ ngoại tiếp $(I)$. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $X,Y,Z$ là trung điểm của $EF,DF,DE$. $K$ là giao điểm của $BZ$ và $CY$. $DK$ cắt $(I)$ tại $T$. Chứng minh rằng $T,X,I,K$ đồng viên.

Screenshot (1480).png


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#7 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 20-06-2022 - 08:22

Bài toán 3. (Sưu tầm) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $L$ là hình chiếu của $H$ lên $EF$. $HL$ cắt $DE,DF$ tại $Q,P$. $BQ$ cắt $CP$ tại điểm $S$. Chứng minh rằng $SH\bot DL$

attachicon.gif Screenshot (1479).png

hehe bài này :)) đảo mô hình về tâm nội tiếp bàng tiếp thì ra bài toán sau : cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). ĐƯờng tròn (I) tiếp xúc với BC tại D. Gọi K,L là tâm đường tròn bàng tiếp góc B,C của tam giác ABC. ID cắt CA,AB lần lượt tại M,N. Gọi J bằng NK cắt ML. Chứng minh rằng IJ vuông AD 

 

259774464_981379639085987_79284502273439


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 20-06-2022 - 08:23


#8 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 20-06-2022 - 08:28

góp vui

Bài toán 6. Trên cạnh $\displaystyle AB$ của ngũ giác $\displaystyle ABCDE$ lấy điểm $\displaystyle F$ sao cho $\displaystyle \Delta ADE\sim \Delta ECF\sim \Delta DBC$. Chứng minh rằng $\displaystyle \frac{AF}{BF} =\frac{EF^{2}}{CF^{2}}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 20-06-2022 - 08:29


#9 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:GFN

Đã gửi 20-06-2022 - 10:52

Bài toán 2. (Trần Quang Hùng) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $DE,DF$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. Gọi $R$ là trung điểm của $PQ$. $OH$ cắt $AR$ tại $L$. Gọi $N$ là tâm đường tròn Euler của $\Delta ABC$. Chứng minh rằng trực tâm của $\Delta ALN$ nằm trên $EF$.

attachicon.gif Screenshot (1475).png

Gọi $I, G$ lần lượt là trung điểm $CA, AB$. $J$ là giao điểm của $GI$ và $EF$. $L'$ là giao điểm của $GE$ và $FI$.
Ta dễ thấy $L'$ nằm trên đường thẳng $Euler$ của $\Delta ABC$
Ta có: $QA.QC=QF.QD$ nên $Q$ thuộc trục đẳng phương của $(O)$ và $(N)$, tương tự cho điểm $P$
Do đó $PQ$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(N)$ suy ra $PQ\perp OH$. Mặt khác dễ thấy $AJ\perp OH$ nên $AJ// PQ$
Gọi $AJ$ cắt $EF$ tại $K$ thì ta có $(L'K, GE) = -1$
$AK//PQ$ nên $A(RK, PQ) = -1$ hay $(LK, GE) = -1$
Do đó $L'$ trùng $L$. Theo định lí $Brocard$ ta có $J$ là trực tâm tam giác $ALN$
P/s: Bài 1 có thể bỏ điểm $H$, lấy một điểm $X$ bất kì nằm trên tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$, sau đó định nghĩa $K$ là giao của đường qua $A$ vuông với $OX$ với $BC$ thì bài toán vẫn đúng
geogebra-export.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DaiphongLT: 20-06-2022 - 10:52


#10 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:GFN

Đã gửi 20-06-2022 - 11:04

Bài toán 4: Cho tam giác ABC, hai điểm P, Q đẳng giác trong tam giác ABC. Gọi D, E, F; X, Y, Z lần lượt là hình chiếu của P, Q trên BC, CA, AB. EF cắt BC tại G. Khi đó PG vuông góc với AX.

Gọi hình chiếu của $P$ lên $AX$ là $H$
Thì khi đó ta có $A, E, P, H, F$ đồng viên hay $EFPH$ nội tiếp
Do đó áp dụng định lý về tâm đẳng phương ta có $EF$, $PH$, $BC$ đồng quy
 



#11 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:(^_^)

Đã gửi 20-06-2022 - 11:47

Bài toán 5. (Sưu tầm) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$ ngoại tiếp $(I)$. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $X,Y,Z$ là trung điểm của $EF,DF,DE$. $K$ là giao điểm của $BZ$ và $CY$. $DK$ cắt $(I)$ tại $T$. Chứng minh rằng $T,X,I,K$ đồng viên.

attachicon.gif Screenshot (1480).png

Cách nãy hơi dài:

Gọi U là tâm $(BYZC)$.

$YZ$ cắt $BC$ tại $L$.

Theo định lý Brocard, ta có $LK\perp UI$ mà $\mathcal{P}_{L/(U)}=\mathcal{P}_{L/(I)}$ nên $K$ nằm trên trục đẳng phương của $(U), (I)$,

Từ đó $\overline{KB}.\overline{KZ}=\overline{KT}.\overline{KD}$ nên $(T,B,D,Z)$ đồng viên.

Ta có biến đổi góc: $(ZT,ZY)\equiv (ZT,ZB)+(ZB,ZY)\equiv (DT,DB)+(ZB,ZY)\equiv (DT,DB)+(CB,CY)\equiv (DT,CY)\equiv (KT,KY)\pmod \pi$. 

Vậy $T,Y,K,Z$ đồng viên.

Hình gửi kèm

  • hinhvvv.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 20-06-2022 - 12:03


#12 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 20-06-2022 - 12:13

Bài toán 6. (AoPs) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$ nội tiếp $(O)$. $H$ là trực tâm của tam giác, $P$ là điểm di động trên cung nhỏ $BC$. $K$ là trực tâm của $\Delta PBC$. $KH$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$. Gọi $J$ là tâm $(AEF)$. Chứng minh rằng $J,H,P$ thẳng hàng.

Screenshot (1490).png


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#13 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 20-06-2022 - 13:48

Bài toán 2. (Trần Quang Hùng) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $DE,DF$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. Gọi $R$ là trung điểm của $PQ$. $OH$ cắt $AR$ tại $L$. Gọi $N$ là tâm đường tròn Euler của $\Delta ABC$. Chứng minh rằng trực tâm của $\Delta ALN$ nằm trên $EF$.

attachicon.gif Screenshot (1475).png

Bài này còn có một mở rộng khá hay như sau : Cho tam giác $\displaystyle ABC$, đường cao $\displaystyle AD$, tâm ngoại tiếp $\displaystyle O$ và $\displaystyle P$ thuộc $\displaystyle AD$. $\displaystyle E,F$ là hình chiếu của $\displaystyle P$ lên $\displaystyle CA,AB$. $\displaystyle DE,DF$ lần lượt cắt $\displaystyle AB,AC$ tại $\displaystyle M,N$. $\displaystyle Q$ là trung điểm $\displaystyle MN$. Đường thẳng qua $\displaystyle P$ vuông góc với $\displaystyle MN$ cắt $\displaystyle AQ,AO$ tại $\displaystyle R,S$. $\displaystyle T$ là trung điểm $\displaystyle PS$. Chứng minh trực tâm $\displaystyle ART$ nằm trên $\displaystyle EF$.


#14 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 20-06-2022 - 13:55

Một bài cực hay và đẹp từ đề thi Sharygin mà mình sưu tầm được

Bài toán 7.(Sharygin 2011) Cho tứ giác $\displaystyle ABCD$ nội tiếp. Phân giác trong của góc $\displaystyle \angle A,\angle B,\angle C,\angle D$ cắt nhau tạo thành một tứ giác nội tiếp đường tròn $\displaystyle ( I)$. Tương tự với các phân giác ngoài ta thu được đường tròn $\displaystyle ( J)$. Chứng minh $\displaystyle O$ là trung điểm $\displaystyle IJ$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 20-06-2022 - 13:58


#15 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:GFN

Đã gửi 20-06-2022 - 16:01

Bài toán 6. (AoPs) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$ nội tiếp $(O)$. $H$ là trực tâm của tam giác, $P$ là điểm di động trên cung nhỏ $BC$. $K$ là trực tâm của $\Delta PBC$. $KH$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$. Gọi $J$ là tâm $(AEF)$. Chứng minh rằng $J,H,P$ thẳng hàng.

attachicon.gif Screenshot (1490).png

Bài này mình đã từng giải trên AoPs
$PK$ cắt $BC, (O)$ tại $S, D$. $AHKP$ là hình bình hành do đó dễ chứng minh được $\Delta AEF\sim \Delta PBC(g-g)\Rightarrow \Delta JAF\sim \Delta OCP(g-g)$
$\Rightarrow \widehat{JAF}=\widehat{OCP}=90^{\circ}-\widehat{PBC}=\widehat{BPD}\Rightarrow \overline{J, A, D}$
Gọi $JA$ cắt $EF$ tại $G$, $OP$ cắt $BC$ tại $T$, $AP$ cắt $DH$ tại $L$
Ta cần chứng minh $\frac{JG}{JA}=\frac{GH}{AP}\Leftrightarrow \frac{OT}{TP}=\frac{GH}{HK}=\frac{AL}{LP}=\frac{AH}{DP}$
Gọi $M$ trung điểm $BC$
$\Rightarrow \frac{OT}{OP}=\frac{OM}{OM+SP}=\frac{AH}{2OM+2SP}=\frac{AH}{DP}$. Đpcm
geogebra-export (5).png



#16 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:GFN

Đã gửi 20-06-2022 - 16:08

Bài toán 8: Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$, $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$. $T$ là điểm thuộc $(I)$ sao cho $(BTC)$ tiếp xúc với $(I)$ tại $T$. $AT$ cắt $(BTC)$ tại $S$. Chứng minh $P, I, D, S$ đồng viên.
P/s: Đây có thể coi là bài toán sau khi nghịch đảo của bài 5, nhưng giải bằng hình học thuần túy vẫn được



#17 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:(^_^)

Đã gửi 20-06-2022 - 20:08

Một bài cực hay và đẹp từ đề thi Sharygin mà mình sưu tầm được

Bài toán 7.(Sharygin 2011) Cho tứ giác $\displaystyle ABCD$ nội tiếp. Phân giác trong của góc $\displaystyle \angle A,\angle B,\angle C,\angle D$ cắt nhau tạo thành một tứ giác nội tiếp đường tròn $\displaystyle ( I)$. Tương tự với các phân giác ngoài ta thu được đường tròn $\displaystyle ( J)$. Chứng minh $\displaystyle O$ là trung điểm $\displaystyle IJ$

Xét các phân giác trong tạo thành tứ giác $XYZW$, các phân giác ngoài tạo thành tứ giác $X'Y'Z'W'$ như hình vẽ.

Gọi $AD$ cắt $BC$ tại $E$, $AB$ cắt $CD$ tại $F$.

Theo tính chất phân giác, ta có $E,X,Z,X',Z'$ và $F,Y,W,Y',W'$ thẳng hàng.

Dễ thấy tứ giác $XAX'B$ nội tiếp nên biến đổi góc được $X,Z,B,C$ đồng viên.

Dẫn đến $\overline{FX}.\overline{FZ}=\overline{FB}.\overline{FC}$ hay $\wp_{F/(I)}=\wp_{F/(O)}$.

Tương tự $\wp_{E/(I)}=\wp_{E/(O)}$ hay $IO\perp EF$.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có $JO\perp EF$.

Do đó $I,J,O$ thẳng hàng.

Mặt khác, lấy $G$ là trung điểm của $ZZ'$ thì $OG$ là trung trực của $DC\Rightarrow OG\perp DC$.

Biến đổi góc, ta cũng có $IZ\perp DC; JZ'\perp DC$.

Theo tính chất đường trung bình hình thang ta có $OI=OJ$. (đpcm)

Hình gửi kèm

  • b7.png


#18 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 21-06-2022 - 05:00

Bài toán 5. (Sưu tầm) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$ ngoại tiếp $(I)$. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $X,Y,Z$ là trung điểm của $EF,DF,DE$. $K$ là giao điểm của $BZ$ và $CY$. $DK$ cắt $(I)$ tại $T$. Chứng minh rằng $T,X,I,K$ đồng viên.

attachicon.gif Screenshot (1480).png

bài này, trước hết mình xin tách ra thành 1 bài toán nhỏ riêng biệt trước để giải như sau : Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có đường cao $\displaystyle AD$, $\displaystyle G$ là trung điểm $\displaystyle AD$. $\displaystyle X,Y$ là hình chiếu của $\displaystyle D$ lên $\displaystyle GB,GC$. Gọi $\displaystyle Z$ là giao điểm $\displaystyle BX,CY$. Chứng minh $\displaystyle \odot ( XYZ)$ tiếp xúc $\displaystyle \odot ( AD)$.

image-9.png?w=782

Gọi $\displaystyle M$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $\displaystyle BYXZ$. Chú ý rằng ta cũng có $\displaystyle GD^{2} =GY.GB=GX.GC$ nên tứ giác $ \displaystyle BYCX$ nội tiếp. Gọi $ \displaystyle J$ là giao điểm của $\displaystyle XY$ và $l\displaystyle BC$. Gọi $ \displaystyle O$ là tâm của $ \displaystyle \odot ( BYC)$. Theo bổ đề quen thuộc thì $ \displaystyle O,Z,M$ thẳng hàng vì cũng vuông góc $\displaystyle JG$. Mặt khác xét $\displaystyle M\in \odot ( GD)$.Nên $ \displaystyle \angle GMD=\angle GYD=90^{0}$

Dẫn tới $ \displaystyle DM\perp JG$ hay 4 điểm $ \displaystyle M,Z,D,O$ thẳng hàng.

Gọi $ \displaystyle T$ là giao điểm thứ hai của $ \displaystyle OM$ với $\displaystyle \odot ( AD)$. Ta có $ \displaystyle GM\perp TD$ nên dẫn tới $l \displaystyle T$ và $ \displaystyle D$ đối xứng nhau qua $\displaystyle GM$. Vì vậy $ \displaystyle JD=JT$. Mặt khác gọi $ \displaystyle N$ là chân đường cao từ $ \displaystyle G$ xuống $ \displaystyle JGO$. Biến đổi góc cho ta

$ \displaystyle \angle OYC=90^{0} -\angle GBC=\angle YGD=\angle YMD$

Nên $\displaystyle YMOC$ nội tiếp. Dẫn tới

$ \displaystyle ZM.ZO=ZY.ZC=ZG.ZN=ZT.ZD$

Vì $\displaystyle T\in \odot ( JG)$. Bằng biến đổi góc , chú ý $ \displaystyle TYDC$ nội tiếp thì $ \displaystyle \angle YTD=\angle YCD=\angle YXB$

 

Dẫn tới $ \displaystyle T\in ( XYZ)$. Đến đây cũng có $l \displaystyle JD^{2} =JT^{2} =JM.JG=JY.JZ$ nên $latex \displaystyle JT$ vừa là tiếp tuyến của $\displaystyle ( AD)$ vừa là tiếp tuyến của $ \displaystyle ( XYZ)$. Bài toán hoàn tất.

Sau đó thì giải tiếp như sau 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 21-06-2022 - 05:16


#19 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 21-06-2022 - 05:17

286989489_510398344210257_12519923946426



#20 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 21-06-2022 - 05:28

Bài toán 9. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ phân giác ngoài $\displaystyle AK$. Gọi $\displaystyle M$ là trung điểm cung $\displaystyle AC$ không chứa $B$ của $\displaystyle ( ABC)$ và lấy $\displaystyle N$ trên phân giác góc $\displaystyle C$ sao cho $\displaystyle AN\parallel BM$. Chứng minh $\displaystyle M,N,K$ thẳng hàng.

288358463_722302152376278_34467121754566


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 21-06-2022 - 07:16





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh