Hic mọi người giải nhanh quá
Đây là bài toán sau khi đảo mô hình nhưng vẫn có lời giải với suy nghĩ tự nhiên!
Bài toán 10. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, $H$ là trực tâm của tam giác. Gọi $J$ là tâm $(AOH)$.$JH$ cắt $BC$ tại $K$. $L$ thuộc $BC$ sao cho $OL//AJ$. Chứng minh rằng $(JKL)$ và $(J)$ cắt nhau trên $AC$. (Hiển nhiên do tính đối xứng nên hai đường tròn vẫn cắt nhau trên $AB$)
Screenshot (1494).png
Gọi $AO$ cắt $BC$ tại $D$. Biến đổi góc đơn giản ta có $\widehat{JHO}=\widehat{ADB}$ nên $HODK$ nội tiếp
Gọi $(BHK), (CHK)$ cắt $AB, AC$ tại $F, E$
Ta có $\widehat{AEH}=\widehat{HKC}=\widehat{AOH}$ nên $F\in (AOH)$. Tương tự với điểm $E$, do đó $A, E, O, H, F$ đồng viên
Dễ thấy $JFKE$ nội tiếp. Định nghĩa lại $L$, là giao điểm thứ hai của $(KEF)$ với $BC$.
Kẻ đường cao $AX, BY, CZ$ thì ta dễ chứng minh được $\Delta KEF\sim \Delta XYZ(g-g)$
Do đó biển đổi góc ta dễ chứng minh được $LB=LF, LC=LE$
Kẻ đường kính $AI$ của $(AOH)$, $I'$ đối xứng với $I$ qua $L$
Gọi $C'$ đối xứng với $C$ qua $L$, khi đó ta có $C', I, E$ thẳng hàng. Do đó $\widehat{ACI'}=90^{\circ}$, tương tự $\widehat{ABI'}=90^{\circ}$
Do đó $AI'$ là đường kính của $(O)$. Đến đây dễ chứng minh $AJLO$ là hình bình hành hay $L$ thỏa mãn giả thiết ban đầu. Đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DaiphongLT: 22-06-2022 - 06:36