Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 53 trả lời

#21 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 21-06-2022 - 07:07

Hic mọi người giải nhanh quá :(

Đây là bài toán sau khi đảo mô hình nhưng vẫn có lời giải với suy nghĩ tự nhiên!

Bài toán 10. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, $H$ là trực tâm của tam giác. Gọi $J$ là tâm $(AOH)$.$JH$ cắt $BC$ tại $K$. $L$ thuộc $BC$ sao cho $OL//AJ$. Chứng minh rằng $(JKL)$ và $(J)$ cắt nhau trên $AC$. (Hiển nhiên do tính đối xứng nên hai đường tròn vẫn cắt nhau trên $AB$)

Screenshot (1494).png

 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#22 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:(^_^)

Đã gửi 21-06-2022 - 08:01

Bài toán 9. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ phân giác ngoài $\displaystyle AK$. Gọi $\displaystyle M$ là trung điểm cung $\displaystyle AC$ không chứa $B$ của $\displaystyle ( ABC)$ và lấy $\displaystyle N$ trên phân giác góc $\displaystyle C$ sao cho $\displaystyle AN\parallel BM$. Chứng minh $\displaystyle M,N,K$ thẳng hàng.

Dùng hàng điểm điều hoà khá rõ nét:

Gọi $I$ là tâm nội tiếp, $BI$ cắt $AK$ tại $L$.

Khi đó $I(MN,AK)=I(BC,AK)=-1$.

Lại có $M$ là trung điểm của $IL$ nên $A(MN,IK)=A(MN,IL)=-1$.

Từ đó $I(MN,AK)=A(MN,IK)$.

Vậy $M,N,K$ thẳng hàng.

Hình gửi kèm

  • hinhv.png


#23 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 21-06-2022 - 08:09

um làm hàng điểm cũng được, k thì dùng menelaus tính hết ra 284848780_1439407853149139_8936287684967



#24 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 21-06-2022 - 08:14

Bài toán 9. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ phân giác ngoài $\displaystyle AK$. Gọi $\displaystyle M$ là trung điểm cung $\displaystyle AC$ không chứa $B$ của $\displaystyle ( ABC)$ và lấy $\displaystyle N$ trên phân giác góc $\displaystyle C$ sao cho $\displaystyle AN\parallel BM$. Chứng minh $\displaystyle M,N,K$ thẳng hàng.

288358463_722302152376278_34467121754566

Screenshot (1497).png

Đổi mô hình: Cho $\Delta I_aI_bI_c$ có ba đường cao $I_aA,I_bB,I_cC$ cắt nhau tại $I$. $M$ là trung điểm của $II_b$, $BC$ cắt $I_cI_b$ tại $K$. $KM$ cắt $CI$ tại $N$. Chứng minh rằng $AN//I_bM$

Thật vậy gọi $AI_a$ cắt $MN$ tại $R$ thì $A(NM,KR)=-1$ nên $A(NM,I_bI)=-1$ mà $M$ là trung điểm của $II_b$ nên $AN//I_bM$ (đpcm)


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#25 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 21-06-2022 - 08:36

một bài nữa phát biểu ngắn-gọn-đẹp :D

Bài 11. Cho tam giác $\displaystyle ABC$, đường cao $\displaystyle BE,CF$. $\displaystyle EF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $\displaystyle ABC$ tại $\displaystyle X,Y$. Gọi $\displaystyle P,Q$ là đối xứng của $\displaystyle X,Y$ qua $\displaystyle CA,AB$. Chứng minh $\displaystyle PQ\parallel BC$



#26 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 21-06-2022 - 08:53

một bài nữa phát biểu ngắn-gọn-đẹp :D

Bài 11. Cho tam giác $\displaystyle ABC$, đường cao $\displaystyle BE,CF$. $\displaystyle EF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $\displaystyle ABC$ tại $\displaystyle X,Y$. Gọi $\displaystyle P,Q$ là đối xứng của $\displaystyle X,Y$ qua $\displaystyle CA,AB$. Chứng minh $\displaystyle PQ\parallel BC$

Bài này chỉ cần định nghĩa lại điểm $P,Q$. 

Kẻ đường cao $AD$ thì $Q$ là giao điểm của $XB$ và $DF$, $P$ là giao điểm của $YC$ và $DE$ và chú ý $A$ là tâm của $(XYPQ)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 21-06-2022 - 08:54

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#27 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:GFN

Đã gửi 21-06-2022 - 22:43

Hic mọi người giải nhanh quá :(

Đây là bài toán sau khi đảo mô hình nhưng vẫn có lời giải với suy nghĩ tự nhiên!

Bài toán 10. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, $H$ là trực tâm của tam giác. Gọi $J$ là tâm $(AOH)$.$JH$ cắt $BC$ tại $K$. $L$ thuộc $BC$ sao cho $OL//AJ$. Chứng minh rằng $(JKL)$ và $(J)$ cắt nhau trên $AC$. (Hiển nhiên do tính đối xứng nên hai đường tròn vẫn cắt nhau trên $AB$)

attachicon.gif Screenshot (1494).png

Gọi $AO$ cắt $BC$ tại $D$. Biến đổi góc đơn giản ta có $\widehat{JHO}=\widehat{ADB}$ nên $HODK$ nội tiếp
Gọi $(BHK), (CHK)$ cắt $AB, AC$ tại $F, E$
Ta có $\widehat{AEH}=\widehat{HKC}=\widehat{AOH}$ nên $F\in (AOH)$. Tương tự với điểm $E$, do đó $A, E, O, H, F$ đồng viên
Dễ thấy $JFKE$ nội tiếp. Định nghĩa lại $L$, là giao điểm thứ hai của $(KEF)$ với $BC$.
Kẻ đường cao $AX, BY, CZ$ thì ta dễ chứng minh được $\Delta KEF\sim \Delta XYZ(g-g)$
Do đó biển đổi góc ta dễ chứng minh được $LB=LF, LC=LE$
Kẻ đường kính $AI$ của $(AOH)$, $I'$ đối xứng với $I$ qua $L$
Gọi $C'$ đối xứng với $C$ qua $L$, khi đó ta có $C', I, E$ thẳng hàng. Do đó $\widehat{ACI'}=90^{\circ}$, tương tự $\widehat{ABI'}=90^{\circ}$
Do đó $AI'$ là đường kính của $(O)$. Đến đây dễ chứng minh $AJLO$ là hình bình hành hay $L$ thỏa mãn giả thiết ban đầu. Đpcm
geogebra-export.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DaiphongLT: 22-06-2022 - 06:36


#28 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 22-06-2022 - 20:46

Bài toán 11. (Sưu tầm) Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. $E,F$ là hai điểm thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $AE,AF$ đẳng giác trong $\measuredangle BAC$. $AI$ cắt $(O)$ tại $J$. $M$ là trung điểm của $IE$. Chứng minh rằng $JM$ và $PI$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.

Screenshot (1501).png

 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#29 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:GFN

Đã gửi 22-06-2022 - 21:01

Gọi $PI$ cắt $(O)$ tại $S$
$JS$ cắt $IE, AE, BC$ tại $M,T,D$
Đầu tiên ta dễ thấy $ASTI$ nội tiếp
Do đó $TI//BC$. Mặt khác $JI^2=JD.JS$ do đó ta có được $ID//TE$
Từ đó ta có được $ITED$ là hình bình hành hay có đpcm.

#30 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 22-06-2022 - 21:06

Gọi $PI$ cắt $(O)$ tại $S$
$JS$ cắt $IE, AE, BC$ tại $M,T,D$
Đầu tiên ta dễ thấy $ASTI$ nội tiếp
Do đó $TI//BC$. Mặt khác $JI^2=JD.JS$ do đó ta có được $ID//TE$
Từ đó ta có được $ITED$ là hình bình hành hay có đpcm.

Dạ vâng đây cũng là bổ đề quan trọng để chứng minh bài toán sau:

Bài toán 12. (Sưu tầm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. $P$ là điểm ở trong tam giác sao cho $PI$ vuông góc với $IA$. Gọi $Q$ là điểm liên hợp đẳng giác với $P$ trong tam giác $ABC$. $AQ$ cắt $BC$ tại $E$. Gọi $J$ là trung điểm $IE$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OI$ cắt đường thẳng qua $J$ vuông góc với $IQ$ tại $S$ và cắt $AP$ tại $T$. Chứng minh $I$ là trung điểm đoạn $ST$.

 

Screenshot (1503).png

.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#31 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 22-06-2022 - 21:09

Bài toán 13. (Nguyễn Đại Dương) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $K$ là tâm đường tròn A - mixtilinear nội tiếp. $OI$ cắt đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ tại $L$. Chứng minh $KL$ chia đôi $ID$.

Bài toán này có cấu hình đẹp, được IMO - er Nguyễn Đại Dương đăng lên nhóm hình học phẳng. Không biết có ai đã phát hiện ra tính chất này trước đó chưa!


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#32 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 23-06-2022 - 05:01

Bài toán 11. (Sưu tầm) Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. $E,F$ là hai điểm thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $AE,AF$ đẳng giác trong $\measuredangle BAC$. $AI$ cắt $(O)$ tại $J$. $M$ là trung điểm của $IE$. Chứng minh rằng $JM$ và $PI$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.

attachicon.gif Screenshot (1501).png

d36fb49975d29eaae7c49294e954184d-4sDv8FN



#33 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 23-06-2022 - 06:04

bài 13 281877029_346180514356706_37588247601729


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 23-06-2022 - 06:06


#34 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 23-06-2022 - 06:09

bài này mấu chốt là gọi AP cắt (O) tại F thì I là tâm nội tiếp của APF. 

Dạ vâng đây cũng là bổ đề quan trọng để chứng minh bài toán sau:

Bài toán 12. (Sưu tầm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. $P$ là điểm ở trong tam giác sao cho $PI$ vuông góc với $IA$. Gọi $Q$ là điểm liên hợp đẳng giác với $P$ trong tam giác $ABC$. $AQ$ cắt $BC$ tại $E$. Gọi $J$ là trung điểm $IE$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OI$ cắt đường thẳng qua $J$ vuông góc với $IQ$ tại $S$ và cắt $AP$ tại $T$. Chứng minh $I$ là trung điểm đoạn $ST$.

 

attachicon.gif Screenshot (1503).png

.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 23-06-2022 - 06:09


#35 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 23-06-2022 - 06:21

Bài 14. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nhọn, $\displaystyle BE,CF$ là các đường cao của tam giác đó. Trên $\displaystyle BE,CF$ lấy $\displaystyle M,N$ sao cho $\displaystyle EF=MF=NE$. $\displaystyle MF$ cắt $\displaystyle NE$ tại $\displaystyle K$. Chứng minh trực tâm của $\displaystyle KMN$ nằm trên trung trực $\displaystyle BC$.



#36 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 23-06-2022 - 06:38

Mô hình bài toán 5 rất đẹp và trong lúc làm thì mình có rút ra được 1 số hệ quả như sau đây 

Hệ quả 1. Gọi $\displaystyle O$ là tâm của $\displaystyle BYZC$. $\displaystyle JO$ cắt $\displaystyle IK$ tại $\displaystyle G$ thì $\displaystyle A,T,G$ thẳng hàng.

 
Hệ quả 2. $\displaystyle AT$ cắt $\displaystyle ( TBC)$ tại $\displaystyle M$. $\displaystyle N$ là điểm chính giữa cung $\displaystyle BC$ của $\displaystyle ( TBC)$. Chứng minh $\displaystyle \angle IMN=90$


#37 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 24-06-2022 - 19:36

Bài toán 15. (Sưu tầm) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB>AC$ ngoại tiếp $(I)$. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $G$ là chân đường cao hạ từ $D$ xuống $EF$. $J$ là trung điểm của $DG$, $EJ$ cắt $(I)$ tại $H$. Gọi $K$ là tâm $(FGH)$. Chứng minh rằng $IK \parallel BH$

Screenshot (1516).png

 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#38 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 25-06-2022 - 07:18

Bài 16. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp (O) có phân giác góc $B,C$ cắt $(O)$ tại $M,N$. Lấy điểm $X,Y$ trên tia đối của tia $BC, CB$ sao cho $BA=BX,CA=CY$. $K$ là tâm $(XNB)$, $L$ là tâm $(YMC)$. Chứng minh rằng $KB$ và $LC$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$.

Screenshot (1520).png


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#39 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 25-06-2022 - 08:54

lòi giải bài 14

288299106_751655379355369_21205432297160



#40 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:GFN

Đã gửi 25-06-2022 - 09:18

Bài 14. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nhọn, $\displaystyle BE,CF$ là các đường cao của tam giác đó. Trên $\displaystyle BE,CF$ lấy $\displaystyle M,N$ sao cho $\displaystyle EF=MF=NE$. $\displaystyle MF$ cắt $\displaystyle NE$ tại $\displaystyle K$. Chứng minh trực tâm của $\displaystyle KMN$ nằm trên trung trực $\displaystyle BC$.

Dễ thấy $FM//ED, EN//FD$. Gọi $X, Y$ lần lượt là hình chiếu của $M, N$ lên $FD, ED$
Khi đó dễ chứng minh được $\Delta FMX\doteq \Delta ENY(g-c-g)$ nên $FX=EY$ $(1)$
Gọi $L$ trung điểm $BC$ thì $L$ thuộc $(DEF)$ và $LE=LF$ $(2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra $L$ thuộc $(DXY)$
Gọi $MX$ cắt $NY$ tại $G$ thì $G$ là trực tâm $\Delta KMN$ và $G$ thuộc $(DXY)$. Do đó $D, X, Y, G, L$ đồng viên hay $GL$ vuông $BC$. Đpcm

geogebra-export (9).png






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh