Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:
$1)$ $f(1997) = 1998$
$2)$ $f(ab) = f(a)+f(b) + k f ( \gcd(a,b))$ với mọi $ a;b \in \mathbb{N}^{*}$
Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:
$1)$ $f(1997) = 1998$
$2)$ $f(ab) = f(a)+f(b) + k f ( \gcd(a,b))$ với mọi $ a;b \in \mathbb{N}^{*}$
Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại hàm số $f: \mathbb{N}^{*}$ $\mapsto$ $\mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:
Theo mấy cái định nghĩa của hàm số ở VN thì em toàn thấy là $f: \mathbb{N}^*\to \mathbb{Z},\ x\mapsto f(x)$. Thế nên $\mapsto$ mà anh hay dùng theo em là chưa hợp lí (có gì không đúng thì anh lượng thứ )
Quay lại bài toán thì yêu cầu chỉ cần tìm $k$ nguyên dương khá đơn giản, sẽ đổi lại là tìm số nguyên $k$. Thay $a=b=1$ ta có
$$f(1)=2f(1)+kf(1)\implies (k+1)f(1)=0$$
$\bullet$ Xét trường hợp $f(1)=0$, thay $b=1$ và $a$ bất kì vào giả thiết ta có
$$f(a)=f(a)+f(1)+kf(\gcd(a,1))\implies kf(a)=0$$
Vì $f(1997)\neq 0$ nên $k=0$. Với $k=0$, dễ thấy hàm số
$$f\left(p_1^{\alpha_1}\dots p_t^{\alpha_t} \right )=\alpha_1f(p_1)+\dots+\alpha_tf(p_t)$$
thỏa đề, trong đó $f(1997)=1998$ và $f(p)=0$ với mọi $p\neq 1997$.
$\bullet$ Trường hợp $k=-1$ thì hàm $f\equiv 1998$ thỏa đề.
Vậy $k\in \{-1,0\}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 20-06-2022 - 15:55
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh