Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] Các bài toán hình học đồng quy, thẳng hàng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 18 trả lời

#1 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 20-06-2022 - 16:10

Xin lỗi mọi người, lúc nãy mình không để ý nên có đăng nhầm diễn đàn...Vẫn là topic cũ, ở post này mình xin phép được thảo luận các bài toán hình học có phát biểu mang tính đối xứng như chứng minh 3 đường đồng quy, hoặc chứng minh các điểm thẳng hàng v,v...Hi vọng nhận được sự ủng hộ từ mọi người.

Chú thích: (*) là khó vừa, (**) là rất khó

Bài toán 1. (Sưu tầm AoPS)(*) Cho tam giác $\displaystyle ABC$ ngoại tiếp đường tròn $\displaystyle ( I)$. $\displaystyle ( I)$ tiếp xúc với $\displaystyle BC,CA,AB$ lần lượt tại $\displaystyle D,\ E,\ F$. Gọi $\displaystyle X,Y,Z$ lần lượt là giao điểm của $\displaystyle AD,BE,CF$ với $\displaystyle ( I)$ (khác $\displaystyle D,\ E,\ F$). Đường thẳng qua $\displaystyle A$ song song với $\displaystyle XY$ cắt $\displaystyle DY$ tại $\displaystyle M$. Đường thẳng qua $\displaystyle A$ song song với $\displaystyle XZ$ cắt $\displaystyle DZ$ tại $\displaystyle N$. $\displaystyle BM$ cắt $\displaystyle CN$ tại $\displaystyle T$. Gọi $\displaystyle K$ là trực tâm của tam giác $\displaystyle IBC$. Chứng minh rằng: 3 điểm $\displaystyle A,\ T,\ K$ thẳng hàng.

Bài toán 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có trực tâm $\displaystyle H$ và $\displaystyle D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $\displaystyle A,B,C$ xuống $\displaystyle BC,CA,AB$. Gọi $\displaystyle L$ là điểm Lemoine của $\displaystyle ABC$ và $\displaystyle O$ là tâm ngoại tiếp của $\displaystyle ABC$. Chứng minh $\displaystyle OL$ đi qua trực tâm $\displaystyle DEF$.

Bài toán 3. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ ngoại tiếp $\displaystyle ( I)$ và tiếp xúc $\displaystyle BC,CA,AB$ tại $\displaystyle D,E,F$. $\displaystyle G$ là điểm Gergonne của tam giác $\displaystyle ABC$. Dựng $\displaystyle X$ sao cho $\displaystyle GEXF$ là tứ giác điều hòa. Định nghĩa tương tự $\displaystyle Y,Z$. Chứng minh $\displaystyle AX,BY,CZ$ đồng quy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 21-06-2022 - 18:53


#2 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 21-06-2022 - 11:10

Bài toán 4.(*) Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có các đường phân giác $\displaystyle AD,BE,CF$. $\displaystyle X,Y,Z$ là trung điểm $\displaystyle AD,BE,CF$. Chứng minh trực tâm của $\displaystyle XYZ$ nằm trên đường thẳng Euler của $\displaystyle ABC$

Bài toán 5. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ các đường cao $\displaystyle AD,BE,CF$. $\displaystyle X,Y,Z$ lần lượt là hình chiếu của $\displaystyle D,E,F$ lên $\displaystyle EF,FD,DE$. $\displaystyle AX,BY,CZ$ đồng quy tại một điểm $\displaystyle T$. $\displaystyle DD',EE',FF'$ lần lượt là đường kính của $\displaystyle ( DEF)$. Chứng minh $\displaystyle AD',BE',CF'$ đồng quy tại điểm $\displaystyle S$. Chứng minh rằng $\displaystyle S,T$ đẳng giác với tam giác $\displaystyle ABC$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 21-06-2022 - 18:53


#3 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1663 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 21-06-2022 - 13:28

Bài toán 4. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có các đường phân giác $\displaystyle AD,BE,CF$. $\displaystyle X,Y,Z$ là trung điểm $\displaystyle AD,BE,CF$. Chứng minh trực tâm của $\displaystyle XYZ$ nằm trên đường thẳng Euler của $\displaystyle ABC$

Hình như là bài 7.10 sách NVL


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#4 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 21-06-2022 - 14:00

Hình như là bài 7.10 sách NVL

oh : ))  ) oke e, a chưa đọc kỹ chương này, thảo nào thấy bài này nổi thế



#5 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 21-06-2022 - 18:33

Lời giải Bài toán 1. 

 

Bài này còn 1 cách nữa dùng Desargues cho KBC và AMN nhưng rất trâu và dài không kém cách này. có thời gian mình sẽ đăng sau

288438832_402783288555123_14480730751901


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 21-06-2022 - 18:34


#6 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 21-06-2022 - 18:41

Bài toán 6(*).Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có trực tâm $\displaystyle H$ và đường tròn nội tiếp $\displaystyle ( I)$ tiếp xúc $\displaystyle BC,CA,AB$ tại $\displaystyle D,E,F$. $\displaystyle HD$ cắt $\displaystyle AI$ tại $\displaystyle X$. Tương tự $\displaystyle Y,Z$. Chứng minh $\displaystyle H$ là trực tâm $\displaystyle XYZ$

 
Bài toán 7(**). Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp đường tròn $\displaystyle ( O)$. Gọi $\displaystyle I,\ H,\ N$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm, tâm đường tròn Euler của tam giác $\displaystyle ABC$.Gọi $\displaystyle D,\ E,\ F$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle BC,\ CA,\ AB$. Gọi $\displaystyle M$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần được tạo bởi tam giác $\displaystyle DEF$ và đường thẳng $\displaystyle OI$. Gọi $\displaystyle X$ là một điểm nằm trên đường tròn $\displaystyle ( O)$ sao cho đường thẳng Simson của $\displaystyle X$ đối với tam giác $\displaystyle ABC$ vuông góc với $\displaystyle IN$. Chứng minh rằng $\displaystyle MH\ =\ MX.$
 
Bài toán 8(*). Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có tâm nội tiếp $\displaystyle ( I)$ và tiếp xúc $\displaystyle BC,CA,AB$ tại $\displaystyle D,E,F$. Gọi $\displaystyle X,Y,Z$ lần lượt là đối xứng của $\displaystyle I$ qua $\displaystyle EF,FD,DE$. $\displaystyle O$ là tâm ngoại tiếp của $\displaystyle ABC$ và $\displaystyle H$ là trực tâm của $\displaystyle ABC$. Chứng minh điểm liên hợp đẳng giác của $\displaystyle H$ trong $\displaystyle XYZ$ nằm trên $\displaystyle OI$.
 
Bài toán 9. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$. $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Trên $MN,MP$ lấy $X,Y$ sao cho $PX,NY$ là tiếp tuyến của $(I)$. Chứng minh rằng $IG$ vuông góc $XY$. ( mọi người có thể thử chứng minh tiếp tuyến tại $M$ tới $(I)$ cũng cắt $NP$ trên $XY$)
Cuối cùng là một bài toán đối xứng cực đẹp : 
 
Bài toán 10. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có $\displaystyle I_{a} ,I_{b} ,I_{c}$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp của $\displaystyle ABC$. $\displaystyle I$ là tâm nội tiếp của $\displaystyle ABC$. Gọi $\displaystyle l_{a} ,l_{b} ,l_{c}$ lần lượt là đường đối cực của $\displaystyle I$ với $\displaystyle ( I_{a}) ,( I_{b}) ,( I_{c})$ và chúng đôi một cắt nhau tạo thành tam giác $\displaystyle XYZ$. Chứng minh rằng với $\displaystyle N$ là điểm Nagel của $\displaystyle ABC$ thì
 
a) Gọi $\displaystyle H$ là trực tâm $\displaystyle IBC$. Chứng minh $\displaystyle X,H,N$ thẳng hàng
 
b) $\displaystyle N$ là trực tâm $\displaystyle XYZ$
p.s bài này còn có một mở rộng của thầy Hùng từ rất lâu, mình sẽ đăng sau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 22-06-2022 - 05:16


#7 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 21-06-2022 - 18:50

285421915_852109849512986_55471391522795

Bài 5 mọi người làm thử nhé, ý tưởng là chuyển về mô hình tâm nội tiếp bàng tiếp và sử dụng bổ đề sau : (AIa) cắt (O) tại T, AA' là đường kính, A'T cắt đường cao đỉnh A tại V thì IaV vuông góc AV. Tới đây thì chỉ cần biến đổi góc là xong.



#8 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:GFN

Đã gửi 22-06-2022 - 07:21

Bài toán 5. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ các đường cao $\displaystyle AD,BE,CF$. $\displaystyle X,Y,Z$ lần lượt là hình chiếu của $\displaystyle D,E,F$ lên $\displaystyle EF,FD,DE$. $\displaystyle AX,BY,CZ$ đồng quy tại một điểm $\displaystyle T$. $\displaystyle DD',EE',FF'$ lần lượt là đường kính của $\displaystyle ( DEF)$. Chứng minh $\displaystyle AD',BE',CF'$ đồng quy tại điểm $\displaystyle S$. Chứng minh rằng $\displaystyle S,T$ đẳng giác với tam giác $\displaystyle ABC$.

Thực ra việc chứng minh đồng quy ở bài này khá dễ nên xin phép mình không chứng minh
Do đó ta chỉ cần xét một cặp đường thẳng và chứng minh chúng đẳng giác là xong bài
Đưa bài toán về mô hình: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ có đường cao $AD$, đường kính $AE$. $J$ là tâm bàng tiếp góc $A$. Chứng minh $JD, JE$ đẳng giác trong $\Delta JBC$
Gọi $I$ là tâm nội tiếp của $\Delta ABC$.
Biến đổi góc đơn giản, ta dễ thấy $\widehat{EBJ}=\widehat{ABI}=\widehat{IBC}, \widehat{ECJ}=\widehat{ACI}=\widehat{ICB}$
Do đó nếu ta gọi $I'$ đối xứng với $I$ qua $BC$ thì ta có được $I'$ và $E$ liên hợp đẳng giác trong $\Delta JBC$. Do đó ta cần chứng minh $J, I', D$ thẳng hàng
Gọi $AI$ cắt $BC$ tại $F$ thì ta có $(AF, IJ)=-1$. Mặt khác $II'//AD$ nên hiển nhiên $J, I', D$ thẳng hàng
geogebra-export (2).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DaiphongLT: 22-06-2022 - 07:21


#9 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 22-06-2022 - 08:40

Một số bài khác hình học thuần túy về đồng quy thẳng hàng khác. Mời mọi người góp ý

 

Bài toán 11. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp $\displaystyle ( O)$. Gọi $\displaystyle H$ là trực tâm và $\displaystyle D$ là điểm chính giữa cung $\displaystyle BAC$. $\displaystyle BH$ cắt $\displaystyle AC,AD$ tại $\displaystyle E,M$. $\displaystyle CH$ cắt $\displaystyle AB,AD$ tại $\displaystyle F,N$. Đường tròn $\displaystyle ( HMN)$ cắt $\displaystyle ( AEF)$ tại $\displaystyle G$. $\displaystyle AG$ cắt $\displaystyle BH,CH$ tại $\displaystyle P,Q$ tương ứng. Gọi $\displaystyle K$ là giao điểm của trung tuyến qua $\displaystyle G$ của $\displaystyle GAH$ với $\displaystyle EF$, $\displaystyle L$ là giao điểm của trung tuyến qua $\displaystyle H$ của tam giác $\displaystyle HPQ$ và $\displaystyle ( AEF)$. Chứng minh $\displaystyle A,K,L$ thẳng hàng

 

Bài toán 12. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có trực tâm $\displaystyle H$ và tâm ngoại tiếp là $\displaystyle ( O)$. Gọi $\displaystyle X$ là điểm đối xứng của $\displaystyle A$ qua $\displaystyle BC$. Xét $\displaystyle AO$ cắt $\displaystyle ( OBC)$ tại $\displaystyle Y$. Chứng minh $\displaystyle HY,XO,BC$ đồng quy tại $\displaystyle D$ và $\displaystyle AD$ chia đôi $\displaystyle HO$.

 

Bài toán 13. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ với $\displaystyle ( I)$ là đường tròn nội tiếp, $\displaystyle D$ là tiếp điểm của $\displaystyle I$ với $\displaystyle BC$. Đường thẳng qua $\displaystyle D$ vuông góc $\displaystyle AI$ cắt $\displaystyle BI,CI$ tại $\displaystyle P,Q$. Chứng minh $\displaystyle BPCQ$ nội tiếp $\displaystyle ( S)$ và $\displaystyle S,A,D$ thẳng hàng.



#10 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 22-06-2022 - 10:31

Thực ra việc chứng minh đồng quy ở bài này khá dễ nên xin phép mình không chứng minh
Do đó ta chỉ cần xét một cặp đường thẳng và chứng minh chúng đẳng giác là xong bài
Đưa bài toán về mô hình: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ có đường cao $AD$, đường kính $AE$. $J$ là tâm bàng tiếp góc $A$. Chứng minh $JD, JE$ đẳng giác trong $\Delta JBC$
Gọi $I$ là tâm nội tiếp của $\Delta ABC$.
Biến đổi góc đơn giản, ta dễ thấy $\widehat{EBJ}=\widehat{ABI}=\widehat{IBC}, \widehat{ECJ}=\widehat{ACI}=\widehat{ICB}$
Do đó nếu ta gọi $I'$ đối xứng với $I$ qua $BC$ thì ta có được $I'$ và $E$ liên hợp đẳng giác trong $\Delta JBC$. Do đó ta cần chứng minh $J, I', D$ thẳng hàng
Gọi $AI$ cắt $BC$ tại $F$ thì ta có $(AF, IJ)=-1$. Mặt khác $II'//AD$ nên hiển nhiên $J, I', D$ thẳng hàng
attachicon.gif geogebra-export (2).png

ồ bài này đẹp vậy, mình mới tìm lại được là đề Mexican Math Olympiad 2015

https://artofproblem...1166743p5579017


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 22-06-2022 - 10:32


#11 12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học
    Hình học

Đã gửi 22-06-2022 - 12:22

Bài toán 3. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ ngoại tiếp $\displaystyle ( I)$ và tiếp xúc $\displaystyle BC,CA,AB$ tại $\displaystyle D,E,F$. $\displaystyle G$ là điểm Gergonne của tam giác $\displaystyle ABC$. Dựng $\displaystyle X$ sao cho $\displaystyle GEXF$ là tứ giác điều hòa. Định nghĩa tương tự $\displaystyle Y,Z$. Chứng minh $\displaystyle AX,BY,CZ$ đồng quy.

Khó thật đấy, mình giải hơn 2 ngày :(

Hình gửi kèm

  • 285122018_1463493894084414_6249295428471311965_n.png

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#12 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 22-06-2022 - 17:51

cách Bài toán 3 của mình thì ngắn hơn chút....

287931466_1260378364790082_8342422314211



#13 12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học
    Hình học

Đã gửi 22-06-2022 - 21:52

Lời giải Bài toán 1. 

 

Bài này còn 1 cách nữa dùng Desargues cho KBC và AMN nhưng rất trâu và dài không kém cách này. có thời gian mình sẽ đăng sau

288438832_402783288555123_14480730751901

Ở đoạn bạn biến đổi tỉ số kép bằng sin, hình như bạn đã viết sai và theo mình đó là: $ \boxed{C(QNOA) = \frac{\sin\angle OCA}{\sin\angle QCA}.\frac{\sin\angle NCD}{\sin \angle NCA}}$


Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#14 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 22-06-2022 - 22:24

Ừ chắc mình viết từ giấy lên nên nhìn sai, nhưng khúc sau biến góc vẫn theo QCA mà đúng k


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 22-06-2022 - 22:37


#15 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 22-06-2022 - 22:38

Một cách khác do mình và 1 anh khác giải

 

Gọi $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt là giao điểm của $E F, F D, D E$ với $B C, C A, A B$. Ta thấy: $D A$ là đường đối trung tại đỉnh $D$ của tam giác $D E F$ nên tứ giác $D E X F$ là tứ giác điều hòa. Suy ra: $A_{1} X$ là tiếp tuyến của $(I)$. Tương tự, thì: $B_{1} Y, C_{1} Z$ cũng là tiếp tuyến của $(I)$. Suy ra: $A_{1} X, B_{1} Y, C_{1} Z$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(I)$ tai $X, Y, Z$, tương ứng.

 

Qua $B, C$ lần lượt kẻ các đường thẳng song song với $A D$ cắt $X Y, X Z$ lần lượt tại $B_{2}, C_{2}$. Ta thấy: $E Y$ và $F Z$ cắt nhau tại $G_{e}$ và 3 điểm $X, G_{e}, D$ thẳng hàng. Gọi $Z^{\prime}$ là giao điểm của $A_{1} Y$ và $(I)$ (khác $Y$ ). Gọi $R_{1}$ là giao điểm của $A D$ và $A_{1} Y$. Ta có: tú́ giác $X Y D Z^{\prime}$ điều hòa. Suy ra: $D\left(D X, Y Z^{\prime}\right)=D\left(A_{1} R_{1}, Y Z^{\prime}\right)=$ $G_{e}\left(A_{1} R_{1}, Y Z^{\prime}\right)=G_{e}\left(A_{1} D, B C\right)=-1$. Suy ra: 3 điểm $G_{e}, Z^{\prime}, C$ thẳng hàng. Suy ra: 4 điểm $C, Z^{\prime}, G_{e}, F$ thẳng hàng. Suy ra: $Z^{\prime} \equiv Z$. Suy ra: 3 điểm $A_{1}, Y, Z$ thẳng hàng. Tương tự, thì: 3 điểm $B_{1}, Z, X$ thẳng hàng và 3 điểm $C_{1}, X, Y$ thẳng hàng. Qua $X$ kẻ các đường thẳng song song với $A B, A C$ lần lượt cắt $B C$ tại $M_{1}, N_{1}$. Gọi $B B_{2}$ cắt $D E$ tại $S_{5}$. Trong tam giác $C_{1} A D$ có $B S_{5} \| A D$ nên $\frac{B_{2} B}{B_{2} S_{5}}=\frac{X A}{X D}$. Mà $\frac{X A}{X D}=\frac{M_{1} B}{M_{1} D}$. Suy ra: $\frac{B_{2} B}{B_{2} S_{5}}=\frac{M_{1} B}{M_{1} D}$. Suy ra: $M_{1} B_{2} \| D E$. Tương tự, thì: $N_{1} C_{2} \| D F$. Ta lại có: $\frac{B B_{2}}{C C_{2}}=\frac{B B_{2}}{X G_{e}} \cdot \frac{X G_{e}}{C C_{2}}=\frac{Y B}{Y G_{e}} \cdot \frac{Z G_{e}}{Z C}=\frac{A_{1} B}{A_{1} C}$ (Dấu "=" cuối cùng là do áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $G_{e} B C$ với cát tuyến $\overline{A_{1}, Y, Z}$ ). Suy ra: 3 điểm $A_{1}, B_{2}, C_{2}$ thẳng hàng.
 
Gọi $A_{5}, B_{5}$ lần lượt là giao điểm của $A M, B K$ và $A N, C K$. Qua phép vị tự tâm $D$ tỷ số $\frac{D X}{D A}$ biến $X \rightarrow A, Y \rightarrow M, Z \rightarrow N, M_{1} \rightarrow B, N_{1} \rightarrow C$ mà $A M \|$ $X Y, B K \| M_{1} B_{2}$ và $A N\|X Z, C K\| N_{1} C_{2}$. Suy ra: phép vị tự tâm $D$ tỷ số $\frac{D X}{D A}$ biến $B_{2} \rightarrow B_{5}, C_{2} \rightarrow C_{5}$. Gọi $A_{8}$ là giao điểm của $M N$ và $B C$. Ta có: phép vị tự tâm $D$ tỷ số $\frac{D X}{D A}$ biến $A_{1} \rightarrow A_{8}$. Suy ra: tứ giác $A M D N$ nội tiếp đương tròn $\left(I^{\prime}\right)$ và tứ giác $A M D N$ điều hòa. Từ đó, theo phép vị tự trên ta có: 3 điểm $A_{8}, B_{5}, C_{5}$ thẳng hàng. Áp dụng định lý Desargues cho 2 tam giác $A M N$ và $K B C$, ta có: $B M, C N, A K$ đồng quy tại $T$. Suy ra: 3 điểm $A, T, K$ thẳng hàng.
Đó là điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 22-06-2022 - 22:41


#16 12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học
    Hình học

Đã gửi 24-06-2022 - 00:19

Bài toán 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có trực tâm $\displaystyle H$ và $\displaystyle D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $\displaystyle A,B,C$ xuống $\displaystyle BC,CA,AB$. Gọi $\displaystyle L$ là điểm Lemoine của $\displaystyle ABC$ và $\displaystyle O$ là tâm ngoại tiếp của $\displaystyle ABC$. Chứng minh $\displaystyle OL$ đi qua trực tâm $\displaystyle DEF$.

 

Đây là lời giải bài 2 bằng tọa độ số phức : )

Hình gửi kèm

  • 288720648_350665350480544_1325022837677683003_n.png

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#17 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 24-06-2022 - 04:52

Ôi, đúng là thần đồng toán học, đồ tể giải tích, đệ tử của Pitago, tướng quân đạo hàm, bàn tay vàng bấm máy, siêu thám tử tìm nghiệm, nhà du hành Oxyz, thảm sát số phức, kẻ hủy diệt số thập phân, sứ giả hàm log, tể tướng tiệm cận đứng, cha đẻ của Bunhiacopski, vị vua thống trị xác suất, bá tước tham số m, ông tổ của những bất phương trình, thiết diện lão sư, đường sinh giáo chủ, kẻ vạch trần số pi, sát thủ lượng giác, pháp sư cực trị, người san bằng cạnh huyền, cánh tay phải của Fibonacci, người lật tẩy số ảo, kẻ điều hòa âm dương

 

Đây là lời giải bài 2 bằng tọa độ số phức : )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 24-06-2022 - 04:53


#18 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:GFN

Đã gửi 27-06-2022 - 09:43

Bài 15: Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ có $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$. $(I_a)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. $ID$ cắt $(I_a)$ tại $X$. Định nghĩa $Y, Z$ tương tự. Chứng minh $AX, BY, CZ$ đồng quy



#19 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:GFN

Đã gửi 28-06-2022 - 08:23

Bài toán 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có trực tâm $\displaystyle H$ và $\displaystyle D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $\displaystyle A,B,C$ xuống $\displaystyle BC,CA,AB$. Gọi $\displaystyle L$ là điểm Lemoine của $\displaystyle ABC$ và $\displaystyle O$ là tâm ngoại tiếp của $\displaystyle ABC$. Chứng minh $\displaystyle OL$ đi qua trực tâm $\displaystyle DEF$.

Xin phép gửi một lời giải khác, mong mọi người góp ý
Bổ đề 1: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $(w_1), (w_2), (w_3)$ lần lượt là đường tròn $A- Apollonius, B- Apollonius, C- Apollonius$ của tam giác $ABC$. $L$ là điểm $Lemoine$. Khi đó $(w_1), (w_2), (w_3)$ đồng trục và có trục đẳng phương là đường thẳng $OL$
Bổ đề này quen thuộc nên mình xin phép không chứng minh
Bổ đề 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có các đường cao $AD, BE, CF$. $EF, FD, DE$ cắt $BC, CA, AB$ tại $X, Y, Z$. $T$ là trực tâm tam giác $DEF$. Khi đó các đường tròn $(XD), (YF), (ZE)$ đồng trục và có trục đẳng phương là đường thẳng $OT$
Chứng minh: Kẻ các đường cao $DD', EE', FF'$. Ta có $\overline{TD.TD'}=\overline{TE.TE'}=\overline{TF.TF'}$ hay $T$ có cùng phương tích với ba đường tròn $(XD), (YF), (ZE)$
Mặt khác ta có $(XD, BC)=-1$ nên đường tròn $(XD)$ trực giao với $(O)$, tương tự với các đường tròn $(YF), (ZE)$. Do đó $O$ có cùng phương tích với ba đường tròn $(XD), (YF), (ZE)$ là $R^2$
Vậy $OT$ là trục đẳng phương của $(XD), (YF), (ZE)$
geogebra-export (15).png
Bổ đề 3: Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $AD, BE, CF$. $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $EF, FD, DE$. $MN, NP$ cắt $CB, BA$ tại $K, J$. Khi đó $KJ//AC$
Chứng minh: Ta có $\widehat{NJF}=\widehat{AFE}=\widehat{NFJ}\Rightarrow NJ=NF=ND\Rightarrow \widehat{FJD}=90^{\circ}$, tương tự $\widehat{FKD}=90^{\circ}$
Do đó $KJFD$ nội tiếp hay $\widehat{BJK}=\widehat{BDF}=\widehat{BAC}\Rightarrow KJ//AC$
geogebra-export (16).png
Quay lại bài toán: Gọi $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là chân đường tiếp tuyến từ $A, B, C$ tới $BC, CA, AB$ của $(O)$. Khi đó $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là tâm của $(w_1), (w_2), (w_3)$ và $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua 3 điểm này
Gọi $X', Y', Z'$ lần lượt là trung điểm $XD, YF, ZE$. Khi đó $X', Y', Z'$ lần lượt là tâm của $(XD), (YF), (ZE)$ và $X', Y', Z'$ thẳng hàng. Gọi $d'$ là đường thẳng đi qua 3 điểm này
Theo bổ đề 1 ta có $OL$ vuông góc $d$, theo bổ đề 2 ta có $OT$ vuông góc $d'$. Do đó để chứng minh $O, L, T$ thẳng hàng thì ta cần chứng minh $d//d'$
Dễ thấy $X', J, N, P$ thẳng hàng và $Y', K, N, M$ thẳng hàng. Mặt khác $NP//EF//AA_1$ nên ta có $\frac{BX'}{BA_1}=\frac{BJ}{BA}$, tương tự $\frac{BY'}{BC_1}=\frac{BK}{BC}$
Mặt khác theo bổ đề 3 thì $JK//BC$ nên $\frac{BJ}{BA}=\frac{BK}{BC}$. Do đó $\frac{BX'}{BA_1}=\frac{BY'}{BC_1}$ nên $X'Y'//A_1C_1$ hay $d//d'$. Do đó ta có đpcm
P/s: sử dụng hình trong phần chứng minh bổ đề 3
geogebra-export (17).png




 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DaiphongLT: 28-06-2022 - 09:43





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh