Đến nội dung

Hình ảnh

[TOPIC] Các bài toán hình học đồng quy, thẳng hàng

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 21 trả lời

#21
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Bài 15: Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ có $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$. $(I_a)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. $ID$ cắt $(I_a)$ tại $X$. Định nghĩa $Y, Z$ tương tự. Chứng minh $AX, BY, CZ$ đồng quy

hinhve.png

Gọi $(I_b),(I_c)$ lần lượt là tâm bàng tiếp góc $B,C$ của $\Delta ABC$.

$(I_b)$ tiếp xúc với $CA$ tại $E$, $(I_c)$ tiếp xúc với $AB$ tại $F$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$; $EF$ cắt $BC$ tại $G$.

Kẻ $d$ đi qua $I$ song song với $BC$.

Khi đó $(d,IM,IB,IC) = -1 = (I_aD, I_aG,I_aB,I_aC) \Rightarrow IM\perp I_aG$

$D'$ đối xứng với $D$ qua $M$; $L$ là trung điểm của $DG$.

Thế thì: $\Delta ID'M\backsim\Delta GDI_a(g.g)\Rightarrow \Delta ID'D\backsim \Delta LDI_a(c.g.c)$

$\Rightarrow ID\perp I_aL$.

Mà $LD$ tiếp xúc với $(I_a)$ nên $LX$ cũng tiếp xúc với $(I_a)$

$\Rightarrow LD=LG=LX\Rightarrow XD\perp XG$

$\Rightarrow XD$ là phân giác $\angle BXC$. 

$(I_a)$ tiếp xúc với $AC,AB$ tại $C',B'$.

Biến đổi: $\frac{\sin\widehat{XAB}}{\sin\widehat{XAC}} = \frac{\sin\widehat{XB'A}}{\sin\widehat{XC'A}} . \frac{XB'}{XC'}=\left(\frac{\sin\widehat{XC'B'}}{\sin\widehat{XB'C'}}\right)^2 = \left(\frac{\sin\widehat{BI_aL}}{\sin\widehat{CI_aL}}\right)^2 = \left(\frac{BL}{CL}.\frac{I_aB}{I_aC}\right)^2 = \left(\frac{DB^2}{DC^2}.\frac{I_aI_b}{I_aI_c}\right)^2$.

Thiết lập hai đẳng thức tương tự rồi áp dụng định lý Ceva sin đảo ta có điều phải chứng minh.

Mời mọi người cùng chứng minh một kết quả khác như sau: 

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ có $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$. $(I_a)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. $ID$ cắt $(I_a)$ tại $X$, $X_1$ là trung điểm của $DX$. Định nghĩa $Y_1, Z_1$ tương tự. Chứng minh $AX_1, BY_1, CZ_1$ đồng quy



#22
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Bài toán 16. Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(O)$. Gọi $D,E,F$ là trung điểm của $OA,OB,OC$. $X,Y,Z$ là liên hợp đẳng giác với $D,E,F$ trong $\Delta ABC$. Chứng minh rằng tâm của $(XYZ)$ nằm trên đường thẳng Euler của $\Delta ABC$

Nhận thấy $\angle FBC = \angle ECB$ nên $\widehat{ABZ} = \widehat{ACY}$, từ đó biến đổi góc sẽ có $B,C,Y,Z$ đồng viên; $C,A,Z,X$ đồng viên; $A,B,X,Y$ đồng viên. Dẫn đến $\overline{HX}.\overline{HA} =\overline{HY}.\overline{HB}=\overline{HZ}.\overline{HC}$, sử dụng phép nghịch đảo tâm $H$ ta có tâm $(ABC)$, $(XYZ)$ và $H$ thẳng hàng.

Hình gửi kèm

  • hinhve.png





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh