Bài 15: Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ có $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$. $(I_a)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. $ID$ cắt $(I_a)$ tại $X$. Định nghĩa $Y, Z$ tương tự. Chứng minh $AX, BY, CZ$ đồng quy
Gọi $(I_b),(I_c)$ lần lượt là tâm bàng tiếp góc $B,C$ của $\Delta ABC$.
$(I_b)$ tiếp xúc với $CA$ tại $E$, $(I_c)$ tiếp xúc với $AB$ tại $F$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$; $EF$ cắt $BC$ tại $G$.
Kẻ $d$ đi qua $I$ song song với $BC$.
Khi đó $(d,IM,IB,IC) = -1 = (I_aD, I_aG,I_aB,I_aC) \Rightarrow IM\perp I_aG$
$D'$ đối xứng với $D$ qua $M$; $L$ là trung điểm của $DG$.
Thế thì: $\Delta ID'M\backsim\Delta GDI_a(g.g)\Rightarrow \Delta ID'D\backsim \Delta LDI_a(c.g.c)$
$\Rightarrow ID\perp I_aL$.
Mà $LD$ tiếp xúc với $(I_a)$ nên $LX$ cũng tiếp xúc với $(I_a)$
$\Rightarrow LD=LG=LX\Rightarrow XD\perp XG$
$\Rightarrow XD$ là phân giác $\angle BXC$.
$(I_a)$ tiếp xúc với $AC,AB$ tại $C',B'$.
Biến đổi: $\frac{\sin\widehat{XAB}}{\sin\widehat{XAC}} = \frac{\sin\widehat{XB'A}}{\sin\widehat{XC'A}} . \frac{XB'}{XC'}=\left(\frac{\sin\widehat{XC'B'}}{\sin\widehat{XB'C'}}\right)^2 = \left(\frac{\sin\widehat{BI_aL}}{\sin\widehat{CI_aL}}\right)^2 = \left(\frac{BL}{CL}.\frac{I_aB}{I_aC}\right)^2 = \left(\frac{DB^2}{DC^2}.\frac{I_aI_b}{I_aI_c}\right)^2$.
Thiết lập hai đẳng thức tương tự rồi áp dụng định lý Ceva sin đảo ta có điều phải chứng minh.
Mời mọi người cùng chứng minh một kết quả khác như sau:
Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ có $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$. $(I_a)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. $ID$ cắt $(I_a)$ tại $X$, $X_1$ là trung điểm của $DX$. Định nghĩa $Y_1, Z_1$ tương tự. Chứng minh $AX_1, BY_1, CZ_1$ đồng quy