Với mỗi số nguyên dương $n$, ta ký hiệu $d(n)$ là ước số lẻ lớn nhất của $n$
Hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn:
$f(2n-1) = 2^n ; f(2n) = n + \frac{2n}{d(n)}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$
Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho : $ f^k (1) = f(f(...(f(1))...) = 1997$ ($k$ lần lặp $f$)
Dễ dàng tính được với số $y$ lẻ thì $f(2^xy)=2^{x-1}(y+2)$. Do vậy sau $x$ lần tác động $f$ vào số chẵn $2^xy$ thì ta mới thu được số lẻ (số lẻ đó là $y+2x$).
$$2^xy\overset{f}{\longrightarrow}2^{x-1}(y+2)\overset{f}{\longrightarrow}\cdots\overset{f}{\longrightarrow}y+2x$$
Từ nhận xét trên ta thu được: cần $m+1$ lần tác động $f$ vào số lẻ $2m-1$ thì ta mới thu được số lẻ tiếp theo (số lẻ đó là $2m+1$).
$$2m-1\overset{f}{\longrightarrow}2^m\overset{f}{\longrightarrow}\cdots\overset{f}{\longrightarrow}2m+1$$
Với nhận xét này ta thấy rằng khi bắt đầu bởi số lẻ $1$ thì sẽ tồn tại duy nhất $k$ sao cho $f^k(1)=1997$ (vì các số lẻ thu được sau các lần tác động $f$ tăng dần).
$$1\overset{2}{\longrightarrow}3\overset{3}{\longrightarrow}\cdots\overset{999}{\longrightarrow}1997$$
Vậy $k=2+3+\dots+999=\frac{999\cdot 1000}{2}-1=499499$.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh