Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$x_1+x_2+x_3+…+x_7=31$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 34 trả lời

#1 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 30-06-2022 - 07:08

“Giải trí” giữa tuần nhé các bạn !

(Bài này phát triển ý tưởng của bạn Nobodyv3 theo một hướng khác)

 

Tính số NGHIỆM NGUYÊN của phương trình :

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=31$$
thoả mãn $x_i\leqslant 31$ ($\forall i\in\left \{ 1,2,3,...,7 \right \}$)
 

Tổng quát :

Tính số nghiệm nguyên của phương trình :

$x_1+x_2+x_3+…+x_n=m$ ($m\in\mathbb{Z}$)

thoả mãn $x_i\leqslant m$ ($\forall i\in\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#2 Nobodyv3

Nobodyv3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 30-06-2022 - 17:38

Viết vội vài dòng hưởng ứng :
Đặt $ y_{i}=31- x_{i}$ thì pt đã cho tương đương với $y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7} =186$ trong đó $y_{i}\geq 0$
$\Rightarrow$ số nghiệm là $ \binom{186+6}{6}=64300886496$
Tổng quát, số nghiệm là :
$\binom{m(n-1)+n-1}{n-1}=\binom{(n-1)(m+1)}{n-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-06-2022 - 17:46

HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#3 Nobodyv3

Nobodyv3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 30-06-2022 - 19:13

Cho em "nhiều chuyện" một tí:
Bài 1bis: Đề bài giống như nguyên gốc, chỉ khác ràng buộc là $31\geq x_{i}\geq 3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-06-2022 - 19:19

HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 01-07-2022 - 08:24

Cho em "nhiều chuyện" một tí:
Bài 1bis: Đề bài giống như nguyên gốc, chỉ khác ràng buộc là $31\geq x_{i}\geq 3$.

Đặt $y_i=x_i-3$, ta có :

$\sum_{i=1}^{7}y_i=10$ ($0\leqslant y_i\leqslant 28,\forall i\in \left \{ 1,2,3,...,7 \right \}$)

Đáp án là $C_{16}^6$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 01-07-2022 - 10:43

Cho em "nhiều chuyện" một tí:
Bài 1bis: Đề bài giống như nguyên gốc, chỉ khác ràng buộc là $31\geq x_{i}\geq 3$.

Khó thêm tí xíu nữa nhe.

—————————————-

 

Tính số nghiệm nguyên của phương trình :

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=31$$

thoả mãn $-3\leqslant x_i\leqslant 31,\forall  i\in\left \{1,2,3,...,7 \right \}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-07-2022 - 10:45

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 01-07-2022 - 15:23

Nếu tính luôn tổng quát thì:
 

Đếm số nghiệm nguyên của phương trình:

$$\sum\limits_{i=1}^n x_i = m$$

thỏa mãn $a_i \le x_i \le b_i \, \forall i \in \{ 1, \ldots, n \}$ với $a_i, b_i$ là các số nguyên cho trước ($a_i \le b_i$).

Hướng giải sẽ là đặt $y_i = x_i - a_i$ rồi $z_i = \max\{b_i - a_i, m - \sum a_i\}  -y_i$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#7 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 01-07-2022 - 18:41

Nếu tính luôn tổng quát thì:
 

Hướng giải sẽ là đặt $y_i = x_i - a_i$ rồi $z_i = \max\{b_i - a_i, m - \sum a_i\}  -y_i$.

Làm theo cách của bạn :

Đặt $y_i=x_i+3$, ta có : $y_1+y_2+y_3+...+y_7=52$ ($0\leqslant y_i \leqslant 34$)
Lại đặt $z_i=\max\left \{ 34;52\right \} -y_i=52-y_i$, ta được :

$z_1+z_2+z_3+…+z_7=312$ ($18\leqslant z_i\leqslant 52$)

Đến đây rồi làm sao đây ???


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 01-07-2022 - 19:48

Làm theo cách của bạn :

Đặt $y_i=x_i+3$, ta có : $y_1+y_2+y_3+...+y_7=52$ ($0\leqslant y_i \leqslant 34$)
Lại đặt $z_i=\max\left \{ 34;52\right \} -y_i=52-y_i$, ta được :

$z_1+z_2+z_3+…+z_7=312$ ($18\leqslant z_i\leqslant 52$)

Đến đây rồi làm sao đây ???

Mình viết nhầm mất, phải là $z_i = \min \{ b_i - a_i, m - \sum a_i \}$ chứ nhỉ? Mà có vẻ cách này không ổn, hai cái biên chỉ là đổi chỗ cho nhau :wacko:

Thế thì thử hướng khác: quy về $y_i \in [0; b_i - a_i]$ như trên, xong ta sử dụng phương pháp loại trừ. Gọi $A_i$ là tập các nghiệm nguyên thỏa $\sum y_i = M (1)$ mà $y_i > b_i - a_i$ và $A$ là tập tất cả nghiệm nguyên của (1).

Số các nghiệm cần tìm sẽ là:

\[\left| A \right| - \sum\limits_{} {\left| {{A_i}} \right|}  + \sum\limits_{} {\left| {{A_i} \cap {A_j}} \right|}  - \sum\limits_{} {\left| {{A_i} \cap {A_j} \cap {A_k}} \right|}  + ...\]

Để tính $\left| {{A_{{i_1}}} \cap {A_{{i_2}}} \cap ... \cap {A_{{i_k}}}} \right|$ thì ta thay $z_{i_j} = y_{i_j} - (b_{i_j} - a_{i_j})$ rồi sử dụng bài toán gốc :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#9 Nobodyv3

Nobodyv3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 01-07-2022 - 21:27

Khó thêm tí xíu nữa nhe.
—————————————-

Tính số nghiệm nguyên của phương trình :
$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=31$$
thoả mãn $-3\leqslant x_i\leqslant 31,\forall i\in\left \{1,2,3,...,7 \right \}$.

Đặt $y_{i}=x_{i}+3\Rightarrow $ pt đã cho tương đương với
$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7} =52$ và $ 0\leq y_{i}\leq 34$
Để thay đổi không khí, em dùng hàm sinh để tính, ta có hàm sinh $G(z)$ như sau:
$G(z)=\sum_{y_{1}=0 }^{34}z^{y_{1}}...\sum_{y_{7}=0 }^{34}z^{y_{7}}=\left ( \frac{1-z^{35}}{1-z} \right )^{7}$
Tính hệ số của số hạng $z^{52} $:
$\left [ z^{52} \right ]G(z)=\left [ z^{52} \right ]\left ( 1-7z^{35}+h(z) \right )\binom{k+6}{6}=\binom{52+6}{6}-7\binom{17+6}{6}=\binom{58}{6}-7\binom{23}{6}=39768729 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 01-07-2022 - 21:34

HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#10 Nobodyv3

Nobodyv3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 02-07-2022 - 00:39

Em xin mạo muội xét trong trường hợp tổng quát qua bài toán :
Hãy tìm công thức tổng quát để tính số nghiệm nguyên của pt $x_{1}+x_{2}+...+x_{k} =n$ với $0\leq  x_{i}\leq r$.

Ta thấy số nghiệm sẽ là :
$N= \sum_{x_{1}=0}^{r}...\sum_{x_{k}=0}^{r}\left [ z^{n} \right ] z^{x_{1}+x_{2}+...+x_{k}}$
trong đó ,
- Ký hiệu $\left [ z^{n} \right ]g(z)$ là
hệ số của $z^{n}$ trong khai triển chuỗi lũy thừa $g(z)$.
- Với định nghĩa trên, thì $\left [ z^{n} \right ] z^{x_{1}+x_{2}+...+x_{k}}$ bằng $1$ khi $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n$ và ngược lại thì bằng $0$ .
Do đó,
$N=\left [ z^{n} \right ]\left ( \sum_{x=0}^{r}z^{x} \right )^{k}=\left [ z^{n} \right ]\left ( \frac{1-z^{r+1}}{1-z} \right )^{k}=\left [ z^{n} \right ]\left [ \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}\left ( -z^{r+1} \right )^{i} \right ]\left [ \sum_{j=0}^{\infty }\binom{-k}{j}\left ( -z \right )^{j} \right ]=\left [ z^{n} \right ]\sum_{i=0}^{k}\left ( -1 \right )^{i}\binom{k}{i}\sum_{j=0}^{\infty }\left [\left ( -1 \right )^{j}\binom{k+j-1}{j}\left ( -1 \right )^{j}  \right ]z^{\left ( r+1 \right )i+j}=
\sum_{i=0}^{k}\left ( -1 \right )^{i}\binom{k}{i}\sum_{j=0}^{\infty }
\binom{k+j-1}{k-1} \left [  \left [ \left ( r+1 \right )i+j=n \right ]\right ]=\sum_{i=0}^{k}\left ( -1 \right )^{i}\binom{k}{i}\sum_{j=0}^{\infty }\binom{k+j-1}{k-1}\left [ \left [ j=n-\left ( r+1 \right )i \right ] \right ]=
\sum_{i=0}^{k}\left ( -1 \right )^{i}\binom{k}{i}\binom{k+n-\left ( r+1 \right )i-1}{k-1}\left [ \left [ n-(r+1)i\geq 0 \right ] \right ] =\sum_{i=0}^{k}\left ( -1 \right )^i\binom{k}{i}\binom{k+n-\left ( r+1 \right )i-1}{k-1}\left [ \left [ i\leq \frac{n}{r+1} \right ] \right ]\\
=\boxed {\sum_{i=0}^{m}\left ( -1 \right )^{i}\binom{k}{i}\binom{k+n-\left ( r+1 \right )i-1}{k-1},m=min\left \{ k,\left \lfloor \frac{n}{r+1} \right \rfloor \right \}}$
Chú thích : Ký hiệu $[[P]]$ bằng $1$ khi $P$ đúng, ngược lại thì bằng $0$.
HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#11 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 02-07-2022 - 07:16

Đặt $y_{i}=x_{i}+3\Rightarrow $ pt đã cho tương đương với
$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7} =52$ và $ 0\leq y_{i}\leq 34$
Để thay đổi không khí, em dùng hàm sinh để tính, ta có hàm sinh $G(z)$ như sau:
$G(z)=\sum_{y_{1}=0 }^{34}z^{y_{1}}...\sum_{y_{7}=0 }^{34}z^{y_{7}}=\left ( \frac{1-z^{35}}{1-z} \right )^{7}$
Tính hệ số của số hạng $z^{52} $:
$\left [ z^{52} \right ]G(z)=\left [ z^{52} \right ]\left ( 1-7z^{35}+h(z) \right )\binom{k+6}{6}=\binom{52+6}{6}-7\binom{17+6}{6}=\binom{58}{6}-7\binom{23}{6}=39768729 $

Cách của mình :

Đặt $y_i=x_i+3$ ta có $\sum_{i=1}^{7} y_i=52$ ($0\leqslant y_i\leqslant 34$)

Xét pt $\sum_{i=1}^{7} y_i=52$. Gọi $A_{35}$ là số nghiệm nguyên không âm của pt này sao cho có một $y_k$ nào đó bằng $35$. Ta tính $A_{35}$. Ta có $\sum_{i=1}^{7} y_i - y_k=17$

Chọn $k$ có $7$ cách.

Vế trái xem như có $6$ số hạng nên pt này có $C_{22}^5$ nghiệm nguyên không âm.

$\Rightarrow A_{35}=7C_{22}^5$
Tương tự, $A_{36}=7C_{21}^5,A_{37}=7C_{20}^5,...,A_{52}=7C_5^5$
Vậy đáp án là $C_{58}^6-7\left ( C_5^5+C_6^5+C_7^5+...+C_{22}^5 \right )=C_{58}^6-7C_{23}^6=39768729$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-07-2022 - 07:22

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#12 Nobodyv3

Nobodyv3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 02-07-2022 - 13:42

Cách của mình :
Đặt $y_i=x_i+3$ ta có $\sum_{i=1}^{7} y_i=52$ ($0\leqslant y_i\leqslant 34$)
Xét pt $\sum_{i=1}^{7} y_i=52$. Gọi $A_{35}$ là số nghiệm nguyên không âm của pt này sao cho có một $y_k$ nào đó bằng $35$. Ta tính $A_{35}$. Ta có $\sum_{i=1}^{7} y_i - y_k=17$
Chọn $k$ có $7$ cách.
Vế trái xem như có $6$ số hạng nên pt này có $C_{22}^5$ nghiệm nguyên không âm.
$\Rightarrow A_{35}=7C_{22}^5$
Tương tự, $A_{36}=7C_{21}^5,A_{37}=7C_{20}^5,...,A_{52}=7C_5^5$
Vậy đáp án là $C_{58}^6-7\left ( C_5^5+C_6^5+C_7^5+...+C_{22}^5 \right )=C_{58}^6-7C_{23}^6=39768729$

Vâng, có nhiều cách lập luận anh nhỉ. Như lời giải dưới đây chẳng hạn, rất " mộc mạc, chân phương "song sinh cùng trứng với bài của anh:
Xét 2 TH:
a/ $y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7} =52$ với $y_{i}\geq 0$
$\Rightarrow$ số nghiệm là $ \binom{52+6}{6} = \binom{58}{6}$
b/ Vì $35\cdot1+17=52$ nên có nhiều nhất là 1 nghiệm $ \geq 35 \Rightarrow$ số nghiệm trong trường hợp này là $\binom{7}{1} \binom{17+6}{6} =7 \binom{23}{6}$
Do đó kết quả là :
$\binom{58}{6}-7\binom{23}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 02-07-2022 - 14:31

HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#13 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 02-07-2022 - 15:17

“Nâng cao” thêm tí nữa nha !

_______________________________________
 

Tính số nghiệm của phương trình $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=32$
thoả mãn $-5 \leqslant x_i\leqslant 35$ và $x_i$ có dạng $3k+2$ ($k\in\mathbb{Z}$)

với mọi $i\in\left \{ 1,2,3,...,7\right \}$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#14 Nobodyv3

Nobodyv3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 02-07-2022 - 21:02

“Nâng cao” thêm tí nữa nha !
_______________________________________

Tính số nghiệm của phương trình $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=32$
thoả mãn $-5 \leqslant x_i\leqslant 35$ và $x_i$ có dạng $3k+2$ ($k\in\mathbb{Z}$)
với mọi $i\in\left \{ 1,2,3,...,7\right \}$

E hèm, bắt đầu khó nhằn rùi...Thôi thì cố gắng vậy.
Ta thấy pt đã cho tương đương với $y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7} =67$ với $40\geq y_{i}\geq 0$ và các $y_{i}$ có dạng $3k+1$.
Và vẫn trung thành với hàm sinh, em tính số nghiệm trong 2 TH sau:
a/$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7} =67$ với $ y_{i}\geq 0$ và các $y_{i}$ có dạng $3k+1$.
Ta có hàm sinh :
$g(z)=\left ( \frac{z}{1-z^{3}} \right ) ^{7}=z^{7}\left ( 1-z^{3} \right )^{-7}\\
\left [ z^{67} \right ]g(z)=\left [ z^{60} \right ]\sum_{j=0}^{\infty }\binom{-7}{j}\left (-z \right )^{3j}=\binom{20+6}{6}=\binom{26}{6}$
b/ $y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7} =67-42=25$ (vì dễ thấy có một nghiệm $> 40$) và các $y_{i}$ có dạng $3k+1$.
Tương tự, từ hàm sinh trên ta có :
$\left [ z^{25} \right ]g(z)=\left [ z^{18} \right ]\sum_{j=0}^{\infty }\binom{-7}{j}\left (-z \right )^{3j}=\binom{6+6}{6}=\binom{12}{6}$
Vậy số nghiệm cần tìm là :
$\binom{26}{6}-\binom{7}{1} \binom{12}{6}=230230-6468=\boxed {223762}$
I edited.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 03-07-2022 - 09:56

HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#15 Nobodyv3

Nobodyv3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 02-07-2022 - 22:03

Đây là lời giải trực tiếp gọn hơn lời giải trên :
Dễ thấy pt đã cho tương đương với $y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7}  =67$ với $40\geq y_{i}\geq 0$ và có dạng 3k+1.
Do $1+t^3+t^6+...+t^{39}=\frac{1-t^{42}}{1-t^3}$ nên ta có hàm sinh :
$G(t)=\left (\frac{t\left ( 1-t^{42} \right )}{1-t^3}  \right )^7=t^7\left ( 1-t^{42} \right )^7\left ( 1-t^3 \right )^{-7}$
Tính hệ số của số hạng $t^{67} $ trong khai triển của $G(t)$:
$\left [ t^{67} \right ]G(t)=\left [ t^{60} \right ]\left ( 1-7t^{42}+h(t) \right ) \sum_{j=0}^{\infty }\binom{-7}{j}\left ( -t^{3} \right )^j\\
=\binom{20+6}{6}-7\binom{6+6}{6}=\binom{26}{6}-7\binom{12}{6}=\boxed {223762} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 03-07-2022 - 14:50

HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#16 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 03-07-2022 - 06:49

E hèm, bắt đầu khó nhằn rùi...Thôi thì cố gắng vậy.
Ta thấy pt đã cho tương đương với $y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7} =67$ với $40\geq y_{i}\geq 0$ và các $y_{i}$ có dạng $3k+1$.
Và vẫn trung thành với hàm sinh, em tính số nghiệm trong 2 TH sau:
a/$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7} =67$ với $ y_{i}\geq 0$ và các $y_{i}$ có dạng $3k+1$.
Ta có hàm sinh :
$g(z)=\left ( \frac{z}{1-z^{3}} \right ) ^{7}=z^{7}\left ( 1-z^{3} \right )^{-7}\\
\left [ z^{67} \right ]g(z)=\left [ z^{60} \right ]\sum_{j=0}^{\infty }\binom{-7}{j}\left (-z \right )^{3j}=\binom{20+6}{6}=\binom{26}{6}$
b/ $y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7} =67-42=25$ (vì dễ thấy có một nghiệm $> 40$) và các $y_{i}$ có dạng $3k+1$.
Tương tự, từ hàm sinh trên ta có :
$\left [ z^{25} \right ]g(z)=\left [ z^{18} \right ]\sum_{j=0}^{\infty }\binom{-7}{j}\left (-z \right )^{3j}=\binom{6+6}{6}=\binom{12}{6}$
Vậy số nghiệm cần tìm là :
$\binom{26}{6}-\binom{12}{6}=230230-924=\boxed {229306}$

Kết quả của mình là $223762$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#17 Nobodyv3

Nobodyv3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 03-07-2022 - 07:31

Kết quả của mình là $223762$.

Exactly!
Em đã quên nên mắc phải một sai lầm chết người!
Em đã sửa lại.
Cám ơn anh rất nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 03-07-2022 - 10:03

HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#18 Nobodyv3

Nobodyv3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 03-07-2022 - 10:49

Xin gửi đến anh chị và các bạn một bài bà con với bài trên :
Hãy viết công thức tính số nghiệm nguyên dương của $$x_{1}+...+x_{k}=n$$
sao cho $x_{i}\notin 3\mathbb{N}$.
HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#19 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 04-07-2022 - 06:25

Xin gửi đến anh chị và các bạn một bài bà con với bài trên :
Hãy viết công thức tính số nghiệm nguyên dương của $$x_{1}+...+x_{k}=n$$
sao cho $x_{i}\notin 3\mathbb{N}$.

Chắc ý bạn là $x_i$ là số nguyên dương và $x_i\neq 3t(t\in\mathbb{N})$ (đúng không)

Bổ sung đề bài : $n\geqslant k$

______________________________________________
 

Trước khi giải bài này, mình xin nêu ra 2 bổ đề có liên quan :

Bổ đề 1: Điều kiện để phương trình $\sum_{i=1}^{k}x_i=n$ ($n\geqslant k$) có nghiệm nguyên dương thoả mãn $x_i=3t+1$ với mọi $i$ từ $1$ đến $k$ là $n+2k$ chia hết cho $3$. Khi đó số nghiệm nguyên dương (thoả mãn điều kiện trên) là $C_{\frac{n+2k-3}{3}}^{k-1}$

Bổ đề 2: Điều kiện để phương trình $\sum_{i=1}^{k}x_i=n$ ($n\geqslant 2k$) có nghiệm nguyên dương thỏa mãn $x_i=3t+2$ với mọi $i$ từ $1$ đến $k$ là $n+k$ chia hết cho $3$. Khi đó số nghiệm nguyên dương (thoả mãn điều kiện trên) là $C_{\frac{n+k-3}{3}}^{k-1}$

Việc chứng minh 2 bổ đề trên cũng đơn giản nên xin phép không trình bày ở đây.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#20 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 04-07-2022 - 07:39

Xin gửi đến anh chị và các bạn một bài bà con với bài trên :
Hãy viết công thức tính số nghiệm nguyên dương của $$x_{1}+...+x_{k}=n$$
sao cho $x_{i}\notin 3\mathbb{N}$.

Xét phương trình $x_1+x_2+x_3+…+x_k=n$ ($n\geqslant k$)

Gọi $p$ là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho $n-2k+p\ \vdots\ 3$ ($p$ là số nguyên xác định và $p\in \left \{ 0,1,2 \right \}$)

Gọi $k_1$ là số số hạng ở vế trái có dạng 3t+1. Ta có $k_1=p+3q$ (với $q$ từ $0$ đến $m={ \lfloor \frac{k-p}{3} \rfloor }$)

Xét các trường hợp :

1) $k_1=p$ ($q=0$)

   Chọn ra $p$ số hạng có dạng 3t+1 (có $C_k^p$ cách)

   Đặt tên lại $p$ số hạng 3t+1 là $a_1,…,a_p$ (chú ý $p$ là số nguyên xác định và $p\in\left \{ 0,1,2\right \}$)

   Và $k-p$ số hạng 3t+2 là $b_1,b_2,…,b_{k-p}$. Ta có các trường hợp :

  a) $\left\{\begin{matrix} a_1+...+a_p=p\\b_1+b_2+...+b_{k-p}=n-p \end{matrix} \right.$

     Theo các bổ đề 1 và 2 trên kia thì hệ này có $C_{p-1}^{p-1}C_{\frac{n+k-2p-3}{3}}^{k-p-1}$ nghiệm

  b) $\left\{\begin{matrix} a_1+…+a_p=p+3\\b_1+b_2+…+b_{k-p}=n-p-3 \end{matrix} \right.$
    Hệ này có $C_p^{p-1}C_{\frac{n+k-2p-6}{3}}^{k-p-1}$ nghiệm.

  ……………………………………………….

  Tổng cộng $C_{p-1}^{p-1}C_{\frac{n+k-2p-3}{3}}^{k-p-1}+C_p^{p-1}C_{\frac{n+k-2p-6}{3}}^{k-p-1}+…=C_{\frac{n+k+p-3}{3}}^{k-1}$
   Vậy trường hợp 1 có $C_k^pC_{\frac{n+k+p-3}{3}}^{k-1}$ nghiệm.

2) $k_1=p+3$ ($q=1$)

   Tương tự như trên, tính được trường hợp 2 có $C_k^{p+3}C_{\frac{n+k+p}{3}}^{k-1}$ nghiệm.

…………………………………………………

…………………..…………………………….

m+1) $k_1=p+3m$ ($q=m$)

   Cũng tương tự, trường hợp m+1 có $C_k^{p+3m}C_{\frac{n+k+p+3m-3}{3}}^{k-1}$ nghiệm.

Vậy đáp án cuối cùng là $\sum_{q=0}^{\left \lfloor \frac{k-p}{3} \right \rfloor }C_k^{p+3q}C_{\frac{n+k+p+3q-3}{3}}^{k-1}$

(trong đó $p$ là số được xác định như đã nói ở trên)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 04-07-2022 - 10:19

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





8 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 8 khách, 0 thành viên ẩn danh