Đến nội dung

Hình ảnh

$x_1+x_2+x_3+…+x_7=31$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 55 trả lời

#41
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

…Vậy ta có đẳng thức$$f(n,k)=f(n-1,k-1)+f(n-k,k)$$

Áp dụng liên tiếp đẳng thức trên ta có được:
$$\begin{equation}\label{dt1}f(n,k)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n-2}{k}\right\rfloor} f(n-1-ki,k-1)\end{equation}$$
Giờ ta sẽ thử dùng $(\ref{dt1})$ để tính $f(n,3)$
Ta có:
$f(n-1-3k,2)= \left\lfloor\frac{n-1-3k}{2}\right\rfloor $
Nên theo $(\ref{dt1})$
$f(n,3)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-2}{3}\right\rfloor} \left\lfloor\frac{n-1-3k}{2}\right\rfloor$
$\;\;\;\; =\sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac{n-2}{6}\right\rfloor} \left\lfloor\frac{n-1}{2}-3j\right\rfloor +\sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac{n-5}{6}\right\rfloor} \left\lfloor\frac{n-4}{2}-3j\right\rfloor \;\;\; $(tách chẵn lẻ)
$\;\;\;\; = \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n+4}{6}\right\rfloor -\frac{3}{2} \left\lfloor\frac{n-2}{6}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n+4}{6}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n-4}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n+1}{6}\right\rfloor -\frac{3}{2} \left\lfloor\frac{n-5}{6}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n+1}{6}\right\rfloor $
Tới đây để nguyên vậy nhìn cho “nguy hiểm” :luoi:
Thay $n=6p+(0,1,2,3,4,5)$, ta được:
$f(n,3)=\big(3p+(-1,0,0,1,1,2)\big) \big(p+(0,0,1,1,1,1)\big)-\frac{3}{2} \big(p+(-1,-1,0,0,0,0)\big) \big(p+(0,0,1,1,1,1)\big) + \big(3p+(-2,-2,-1,-1,0,0)\big) \big(p+(0,0,0,0,0,1)\big)- \frac{3}{2} \big(p+(-1,-1,-1,-1,-1,0)\big) \big(p+(0,0,0,0,0,1)\big) $
$=3p^2+p(-1,0,3,4,4,5)+(0,0,0,1,1,2) -\frac{3}{2}p^2 +\frac{3}{2}p(1,1,-1,-1,-1,-1) +3p^2+p(-2,-2,-1,-1,0,3) -\frac{3}{2}p^2+ \frac{3}{2}p(1,1,1,1,1,-1)$
$=3p^2+p(-3,-2,2,3,4,8)+\frac{3}{2}p(2,2,0,0,0,-2)+ (0,0,0,1,1,2)$
$=3p^2+p(0,1,2,3,4,5)+(0,0,0,1,1,2)$
$=\left\lfloor\frac{n^2+3}{12}\right\rfloor \;\;\;$(theo bài viết trên)

#42
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Hưởng ứng lời hiệu triệu của thầy, em xin đóng góp ạ.

Câu 2:
Ta biết rằng hàm sinh (Vâng, vẫn trung thành với em nó!) tính số cách viết số n thành các tổng có đúng 3 số hạng là :
$G_{3}(x)= \sum_{n\geq 0}^{}g_{3}\left ( n \right )x^{n} = \frac{x^{3}}{\left ( 1-x \right )\left ( 1-x^{2} \right )\left ( 1-x^{3} \right )} $
Thực hiện tách phân thức và làm vài phép biến đổi ta được :
$G_{3}(x)=\frac{-x^2+20x-7}{72\left ( 1-x \right )^{3}}-\frac{1}{8(1+x)}+\frac{2+x}{9\left ( 1+x+x^{2} \right )}=\frac{-\left ( 1-x \right )^{2}-18\left ( 1-x \right )+12}{72\left ( 1-x \right )^{3}}-\frac{1}{8(1+x)}+\frac{2-x-x^{2}}{9\left ( 1-x^{3} \right )}=\frac{1}{72}\left [ -\sum_{n\geq 0}^{} x^n-18
\sum_{n\geq 0}^{}\binom{n+1}{1} x^n+12\sum_{n\geq 0}^{}
\binom{n+2}{2} x^n \right ]-\frac {1}{8}\sum_{n\geq 0}^{}(-1)^n x^n+\frac{1}{9}\left ( 2-x-x^2 \right )\sum_{n\geq 0}^{} x^{3n}$
Sắp xếp, rút gọn ta có :
$$ \boxed {f(n,3)=g_{3}(n)=\frac{6n^2-7}{72}-\frac{(-1)^{n}}{8}+\frac{h_3(n)}{9}} $$
Chú thích :
- $h_3(n)$ là hàm tuần hoàn có chu kỳ là 3, lặp lại các giá trị $2, -1, -1; 2, -1, -1;......$

Thử lại với vài giá trị n trong 1 chu kỳ xem sao :
- n=3: $ g_3(3)=\frac{47}{72}-\frac{-1}{8}+\frac{2}{9}=1=f(3,3)$
- n=4: $g_3(4)=\frac{89}{72}-\frac{1}{8}+\frac{-1}{9}=1=f(4,3)$
- n=5: $g_3(5)=\frac{143}{72}-\frac{-1}{8}+\frac{-1}{9}=2=f(5,3)$
- n=6: $g_3(6)=\frac{209}{72}-\frac{1}{8}+\frac{2}{9}=3=f(6,3)$
$\Rightarrow$ Vậy công thức khá là OK!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 11-08-2022 - 16:16

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#43
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Hưởng ứng lời hiệu triệu của thầy, em xin đóng góp ạ.

Sắp xếp, rút gọn ta có :
$$ \boxed {f(n,3)=g_{3}(n)=\frac{6n^2-7}{72}-\frac{(-1)^{n}}{8}+\frac{h_3(n)}{9}} $$
Chú thích :
- $h_3(n)$ là hàm tuần hoàn có chu kỳ là 3, lặp lại các giá trị $2, -1, -1; 2, -1, -1;......$

Viết lại từ công thức em tìm được… :)
Thay $n=6p+(0,1,2,3,4,5)$
$f(n,3)=\frac{216p^2+72p(0,1,2,3,4,5) +(0,6,24,54,96,150)+ (-7,-7,-7,-7,-7,-7)}{72}+ \frac{(-9,9,-9,9,-9,9)}{72}+ \frac{(16,-8,-8,16,-8,-8)}{72}$
$=3p^2+p(0,1,2,3,4,5)+\frac{(0,0,0,72,72,144)}{72}$
$=3p^2+p(0,1,2,3,4,5)+(0,0,0,1,1,2)$
$=\left\lfloor \frac{n^2+3}{12} \right\rfloor$
:luoi:

#44
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Để kết thúc vấn đề đã nêu, sau đây là cách tính $f(n,4)$ bằng phương pháp đếm… thiếu như mình trình bày. Quả thực độ “cồng kềnh” nặng về tính toán khiến cho bài toán không còn hấp dẫn nữa!
- Không lẽ lại tính theo tổng:
$f(n,4)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-2}{4}\right\rfloor} \left\lfloor \dfrac{(n-1-4k)^2+3}{12}\right\rfloor \;\;?$
- Tổng này nếu tính ra thì sẽ có “một đống” biểu thức phần nguyên nếu muốn rút gọn phải xét mẫu số lên đến $12\times 6\times 4=288\;$ Mệt!
——
Gọi các tập hợp gồm các bộ có $4$ phần tử có tổng bằng $n$ phân loại như sau:
$A=\{(a,b,c,d)\};\; A_2=\{(a,a,b,c)\}; A_{22}=\{(a,a,b,b)\}; A_3=\{(a,a,a,b)\}; A_4=\{(a,a,a,a)\}$
Khi đó ta có:
$$f(n,4)=\frac{|A|+6|A_2|+3|A_{22}|+8|A_3|+6|A_4|}{24}$$
$|A|=\binom{n-1}{3} \;$ (chia kẹo Eurler)
Xét $a+a+b+c=n$, ta có $1\le a=\frac{n-b-c}{2}\le \left\lfloor \frac{n-2}{2}\right\rfloor$ là các giá trị có thể nhận của $a$.
Ứng với mỗi giá trị của $a$ thì $1\le b=n-c-2a \le n-1-2a$ là số giá trị có thể nhận của $b$, còn $c=n-2a-b$ là giá trị duy nhất $c$ được chọn
Do đó: $|A_2|=\sum_{a=1}^{\left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor} (n-1-2a)=(n-1) \left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor- \left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor \left(n-1-\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor \right) = \left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{(n-2)^2}{4}\right\rfloor $
Xét $a+a+b+b=n$. Dễ thấy phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi $n$ chẵn
Khi đó $a=\frac{n}{2}-b\le \frac{n}{2}-1=\frac{n-2}{2}$
Vậy nên $|A_{22}|=\frac{(-1)^n+1}{2} . \frac{n-2}{2}=\frac{((-1)^n+1)(n-2)}{4} $
Dễ thấy $|A_3|= \left\lfloor \frac{n-1}{3}\right\rfloor $
Và $|A_4|= \left\lfloor \frac{n}{4}\right\rfloor-\left\lfloor \frac{n-1}{4}\right\rfloor$
——
Ví dụ cho $n=18$ tính $f(18,4)$
Ta có $|A|=\binom{18-1}{3}=680$
$|A_2|= \left\lfloor\frac{(18-2)^2}{4}\right\rfloor=64 $
$|A_{22}|=\frac{((-1)^{18}+1)(18-2)}{4}=8$
$|A_3|= \left\lfloor\frac{18-1}{3}\right\rfloor=5 $
$|A_4|= \left\lfloor\frac{18}{4}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{18-1}{4}\right\rfloor =0$
$f(18,4)= \dfrac{|A|+6|A_2|+3|A_{22}|+8|A_3| +6|A_4|}{24}= \dfrac{680+6\times 64+3\times 8+8\times 5 +6\times 0}{24} =47$
——
Các bạn có thể tham khảo thêm:
Tam giác $f(n,k)$
Dãy số $f(n,3)$
Dãy số $f(n,4)$
Dãy số $f(n,5)$



#45
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Ngoài lể chút ạ. Theo như bạn Nobodyv3 có nói ở trên thì bạn đang có "khao khát" sử dụng hàm sinh. Supermember mạn phép khuyên bạn hãy dùng hàm sinh để giải quyết tất cả các bài Toán trong ấn phẩm " đẳng thức tổ hợp" mà VMF đã xuất bản cách đây tròn 10 năm rưỡi (link: https://diendantoanh...g-thức-tổ-hợp/). Lưu ý là dùng hàm sinh để giải tất cả các bài toán trong chuyên đề đó chứ không phải chỉ gói gọn là các bài trong chương dùng hàm sinh để chứng minh.

 

Đây sẽ là hoạt động rất ý nghĩa, là tiền đề để có nền tảng làm chuyên đề VOL2. Bạn Nobodyv3  và thầy Thanh nghĩ sao?

Không cần phải giải quá nhanh, có thể là 2 ngày giải 1 bài cũng là quá OK rồi.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 11-08-2022 - 13:19

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#46
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Anh Lộc (supermember) đứng ra chủ trì rồi kìa! Nobodyv3 (không biết tên bạn là gì) ra lãnh giáo thôi nào!
Một tông sư, giáo chủ “Hàm sinh giáo”, đứng ra thu nạp một tuyệt thế “hàm sinh học”, chung tay tạo nên tuyệt kỹ “Hợp (tổ hợp) Bể Rời (rời rạc) Non Hàm Sinh Quyết” nổi danh yangho. Hãy tìm đến “Ngôi đền bóng đêm” (Dark Templar) gặp Bảo Phúc chân nhân - người nắm giữ những tuyệt học bí truyền về Hàm sinh, tiếc rằng gặp người này không dễ. Về LateX chỉ pháp, hãy hỏi vị thần sức mạnh perfectstrong nhờ giúp đỡ. Lão ăn mày ta là người ngoại đạo nên sẽ không tham gia!

#47
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Tính $f(n,4)$:
Xét hàm sinh :
$G_{4}(x)= \sum_{n\geq 0}^{}g_{4}\left ( n \right )x^{n} = \frac{x^{4}}{\left ( 1-x \right )\left ( 1-x^{2} \right )\left ( 1-x^{3} \right ) \left ( 1-x^{4} \right )}$
Thực hiện tách phân thức:
$G_{4}(x)=\frac{1}{32\left ( 1+x \right )^{2}}-\frac{13}{288\left ( 1-x \right )^{2}}-\frac{1}{24\left ( 1-x \right )^{3}}+\frac{1}{24\left ( 1-x \right )^{4}}+\frac{1}{8\left ( 1+x^{2} \right )}-\frac{1}{9\left ( 1+x+x^{2} \right )}=\frac{1}{24}\sum_{n\geq 0}^{}\binom{n+3}{3}x^n-\frac{1}{24}\sum_{n\geq 0}^{}\binom{n+2}{2}x^n-\frac{13}{288}\sum_{n\geq 0}^{}\left ( n+1 \right )x^n+\frac{1}{32}\sum_{n\geq 0}^{}(-1)^n(n+1)x^n+\frac{1}{8}\sum_{ n\geq 0 }^{}(-1)^nx^{2n}-\frac{1}{9}(1-x)\sum_{n\geq 0}^{}x^{3n}\\$
Từ đó ta được :
$$g_4(n)=\frac{2n^3+6n^{2}-9n-13}{288}+\frac{(-1)^n(1+n)}{32}+\frac{(-1)^{n/2}[[2\mid n]]}{8}-\frac{1}{9}h_{3}(n)$$
Trong đó :
- $[[P]]$: bằng $1$ nếu $P$ đúng, ngược lại thì bằng $0$ ( Iverson's bracket )
- $h_{3}(n)$: hàm tuần hoàn có chu kỳ là 3, lặp lại 1, -1, 0; 1, -1, 0;...
Áp dụng tính:
$g_4(18)=\frac{11664+1944-162-13}{288}+\frac{19}{32}+\frac{-1}{8}-\frac{1}{9}=\frac{13536}{288}=47=f(18,4) $
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#48
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Kính các lão tiền bối,
Trước hết, vãn bối xin đa tạ, đa tạ tấm thịnh tình của các vị đã dành cho kẻ hậu bối nầy.
Tự nhận thấy bản thân tài hèn sức mọn,nội công kém cỏi chưa thông hai huyệt Nhâm Đốc...và với vài chiêu thức mèo quào, kiến thức manh mún, vụn vặt... thì làm sao đủ tuổi mà vùng vẫy trên chốn giang hồ...Những kiến thức này vãn bối chỉ lượm lặt trên giang hồ nên xuất chiêu theo khẩu khuyết thử và sai!... và cũng chưa từng một giờ, một phút được may mắn thọ giáo một danh môn chánh phái nào!
Hơn nữa, thời gian của vãn bối rất hạn chế và eo hẹp, chỉ thỉnh thoảng tạt ngang 4rum do đam mê mà thôi (lãng tử mà!).
Do đó,vãn bối xin đành cam thất lễ!
Thư bất tận ngôn, ngôn bất tận ý.
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#49
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Tính $f(n,4)$:
….
Từ đó ta được :
$$g_4(n)=\frac{2n^3+6n^{2}-9n-13}{288}+\frac{(-1)^n(1+n)}{32}+\frac{(-1)^{n/2}[[2\mid n]]}{8}-\frac{1}{9}h_{3}(n)$$
Trong đó :
- $[[P]]$: bằng $1$ nếu $P$ đúng, ngược lại thì bằng $0$ ( Iverson's bracket )
- $h_{3}(n)$: hàm tuần hoàn có chu kỳ là 3, lặp lại 1, -1, 0; 1, -1, 0;...

Để cho “nguy hiểm” hơn, hãy thay:
\begin{align*}\frac{(-1)^{n/2}[[2\mid n]]}{8} &=\frac{1}{8}\left(2\left\lfloor\frac{n}{4} \right\rfloor+ 2\left\lfloor\frac{n+1}{4} \right\rfloor +1-n \right)\\ &=\frac{1}{8}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\end{align*}Và
$h_3(n)=n+1-3\left\lfloor\frac{n+2}{3}\right\rfloor=\frac{2}{\sqrt 3}\sin\left(\frac{2(n+1)\pi}{3}\right)$
Thậm chí
\begin{align*}(-1)^n&=2\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor\right)-1\\ &=\cos(n\pi)\end{align*}
:D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 02-05-2023 - 08:56


#50
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

…Vậy ta có đẳng thức$$f(n,k)=f(n-1,k-1)+f(n-k,k)$$Áp dụng liên tiếp đẳng thức trên ta có được:
$$f(n,k)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n-2}{k}\right\rfloor} f(n-1-ki,k-1)$$

Tản mạn thêm đôi chút về hai đẳng thức này!
* $f(n,n)=f(n,n-1)=1$
* Nếu $k>\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor $ thì từ $(\ref{dt1})$ ta có:
$f(n,k)=f(n-1,k-1)$
$f\left(n,\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)= f\left(n-1,\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor-1\right)+1 $
* Rộng ra một chút
$f\left(n,\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor +k\right)= f\left(n-k,\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)$
$f(2n,n)=f(2n-1,n-1)+1=f(2n-2,n-2)+2$
Và vô cùng đặc biệt
$$\begin{equation}\label{dt2} \sum_{k=1}^n f(n,k) = f(2n,n)\end{equation}$$
Ví dụ: $f(14,9)=f(14,7+2)=f(12,7)=f(12,6+1)=f(11,6)=f(11,5+1)=f(10,5)=f(9,4)+1=f(8,3)+2=5+2=7$
——
Chứng minh rằng:

$$\begin{equation}\label{dt3} f(n,k)=\sum_{i=1}^k f(n-k,i)\end{equation}$$


#51
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Một đề mới thi yêu cầu tính liên quan tới $f(n,2)$ và $f(n,3)$. Chắc đáp án của BTC kì thi cũng trùng với cách nào đó đã được nêu ở đây thôi nhỉ  :lol:

299020533_5792701130764080_1514290455805928667_n.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 12-08-2022 - 20:46

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#52
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Trùng hợp nhỉ, chỉ hơi khác chút xíu $p(n,2)=f(n+2,2)$ còn $p(n,3)=f(n+3,3)$ vì có thể $x_1=0$
Lọ mọ tìm kiếm cũng thấy cái này. Trong này nói về hàm phân hoạch của số tự nhiên (trong bài mình là $\sum_{k=1}^nf(n,k)$)
Với rất nhiều khám phá thú vị về nó!
https://www2.math.up...IMSLectures.pdf

#53
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Và vô cùng đặc biệt
$$\sum_{k=1}^n f(n,k) = f(2n,n)$$
Ví dụ: $f(14,9)=f(14,7+2)=f(12,7)=f(12,6+1)=f(11,6)=f(11,5+1)=f(10,5)=f(9,4)+1=f(8,3)+2=5+2=7$
——
Chứng minh rằng:

$$f(n,k)=\sum_{i=1}^k f(n-k,i)$$

Những kết quả như này có rất nhiều cách chứng minh: biểu đồ Ferrer, quy nạp bằng định nghĩa của $f(n,k)$ hoặc hệ thức truy hồi. Sau đây là một cách sử dụng hàm sinh.

 

Đầu tiên thì kí hiệu hệ số của $x^n$ trong $F(x)$ là $[x^n]F(x)$. Tiếp theo là nêu lại một số kết quả khá quen thuộc

Kết quả 1.

$$f(n,k)=[x^n]\frac{x^k}{\prod_{j=1}^{k}(1-x^j)}.\tag{1}$$

Kết quả 2.

$$\sum_{i=0}^k\left(x^i\prod_{j=i+1}^k(1-x^j) \right )=1.\tag{2}$$

Chứng minh hai kết quả này không khó khắn lắm, kết quả 1 thì khai triển vế phải, còn kết quả 2 thì quy nạp. Cuối cùng ta chứng minh hệ thức đề bài như sau

$$\begin{align*}  \sum_{i=1}^kf(n-k,i)&\overset{(1)}{=}\sum_{i=1}^k[x^{n-k}]\frac{x^i}{\prod_{j=1}^i(1-x^j)}\\&=[x^{n-k}]\sum_{i=1}^k\frac{x^i}{\prod_{j=1}^i(1-x^j)}\\&=[x^{n-k}]\sum_{i=1}^k\frac{x^i\prod_{j=i+1}^k(1-x^j)}{\prod_{j=1}^k(1-x^j)}\\&\overset{(2)}{=}[x^{n-k}]\frac{1}{\prod_{j=1}^k(1-x^j)}\\&=[x^n]\frac{x^k}{\prod_{j=1}^k(1-x^j)}\\&\overset{(1)}{=}f(n,k).\end{align*}$$

Với $n:=2n,k:=n$ thì $f(n)=\sum_{k=1}^nf(n,k)=f(2n,n)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 13-08-2022 - 09:18

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#54
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Phát hiện mới về $f(n,4)$
Lại nói về số nghiệm nguyên dương $f(n,4)$ của $\begin{cases}a+b+c+d=n\\1\le a\le b\le c\le d\end{cases}$
Với các giá trị sau:
$|A|={n-1\choose 3};\quad |A_2|=\left\lfloor\frac{(n-2)^2}4\right\rfloor$
$|A_{22}|=\frac{((-1)^n+1)(n-2)}4;\quad |A_3|=\left\lfloor\frac{n-1}3\right\rfloor$
$|A_4|=\left\lfloor\frac n4\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}4\right\rfloor$
Thế thì:
$f(n,4)=\frac{|A|+6|A_2|+3|A_{22}|+8|A_3|+6|A_4|}{24}$

$f(n-6,4)=\frac{|A|-6|A_2|+3|A_{22}|+8|A_3|-6|A_4|}{24}$
Từ đó ta có:
$f(n,4)-f(n-6,4)=\frac{|A_2|+|A_4|}2=\left\lfloor\frac{(n-2)^2+4}8\right\rfloor$

Các bạn thử suy nghĩ xem, tại vì sao lại thế?

#55
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Phát hiện mới về $f(n,4)$
Lại nói về số nghiệm nguyên dương $f(n,4)$ của $\begin{cases}a+b+c+d=n\\1\le a\le b\le c\le d\end{cases}$
Với các giá trị sau:
$|A|={n-1\choose 3};\quad |A_2|=\left\lfloor\frac{(n-2)^2}4\right\rfloor$
$|A_{22}|=\frac{((-1)^n+1)(n-2)}4;\quad |A_3|=\left\lfloor\frac{n-1}3\right\rfloor$
$|A_4|=\left\lfloor\frac n4\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}4\right\rfloor$
Thế thì:
$f(n,4)=\frac{|A|+6|A_2|+3|A_{22}|+8|A_3|+6|A_4|}{24}$

$f(n-6,4)=\frac{|A|-6|A_2|+3|A_{22}|+8|A_3|-6|A_4|}{24}$
Từ đó ta có:
$f(n,4)-f(n-6,4)=\frac{|A_2|+|A_4|}2=\left\lfloor\frac{(n-2)^2+4}8\right\rfloor$

Các bạn thử suy nghĩ xem, tại vì sao lại thế?

Ta có $f(n-6,4)=\frac{\left | B \right |+6\left | B_2 \right |+3\left | B_{22} \right |+8\left | B_3 \right |+6\left | B_4 \right |}{24}$

$\left | B \right |=\binom{n-7}{3}=\frac{n^3-24n^2+191n-504}{6}$ ; $\left | A \right |=\binom{n-1}{3}=\frac{n^3-6n^2+11n-6}{6}$

$\Rightarrow \left | B \right |=\left | A \right |-3n^2+30n-83$

$\left | B_3 \right |=\left \lfloor \frac{n-7}{3} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{n-1}{3} \right \rfloor-2=\left | A_3 \right |-2$

Xét $2$ trường hợp :

+ $n$ lẻ ($n=2k+1$) : Khi đó

   $\left | A_2 \right |=\left \lfloor \frac{(2k-1)^2}{4} \right \rfloor=k^2-k$ ; $\left | B_2 \right |=\left \lfloor \frac{(2k-7)^2}{4} \right \rfloor=k^2-7k+12$

   $\Rightarrow \left | B_2 \right |=\left | A_2 \right |-6k+12$

   $\left | B_{22} \right |=\left | A_{22} \right |=0$ ; $\left | B_4 \right |=\left | A_4 \right |=0$

   Do đó :

   $f(n-6,4)=\frac{\left | A \right |-3(2k+1)^2+30(2k+1)-83+6\left | A_2 \right |-36k+72+8\left | A_3 \right |-16}{24}$

      $=\frac{\left | A \right |+6\left | A_2 \right |-12k^2+12k+8\left | A_3 \right |}{24}=\frac{\left | A \right |-6\left | A_2 \right |+8\left | A_3 \right |}{24}$

+ $n$ chẵn ($n=2k$) : Khi đó

   $\left | A_2 \right |=\left \lfloor \frac{(2k-2)^2}{4} \right \rfloor=k^2-2k+1$ ; $\left | B_2 \right |=\left \lfloor \frac{(2k-8)^2}{4} \right \rfloor=k^2-8k+16$

   $\Rightarrow \left | B_2 \right |=\left | A_2 \right |-6k+15$

   $\left | B_{22} \right |=\frac{2(2k-8)}{4}=\frac{2(2k-2)}{4}-3=\left | A_{22} \right |-3$

   $\left | B_4 \right |=1-\left | A_4 \right |$

   Do đó :

   $f(n-6,4)=\frac{\left | A \right |-3(2k)^2+30(2k)-83+6\left | A_2 \right |-36k+90+3\left | A_{22} \right |-9+8\left | A_3 \right |-16+6-6\left | A_4 \right |}{24}$

     $=\frac{\left | A \right |+6\left | A_2 \right |-12k^2+24k-12+3\left | A_{22} \right |+8\left | A_3 \right |-6\left | A_4 \right |}{24}=\frac{\left | A \right |-6\left | A_2 \right |+3\left | A_{22} \right |+8\left | A_3 \right |-6\left | A_4 \right |}{24}$

 

Kết hợp cả $2$ trường hợp trên (và chú ý rằng khi $n$ lẻ thì $\left | A_{22} \right |=\left | A_4 \right |=0$), ta có

$f(n-6,4)=\frac{\left | A \right |-6\left | A_2 \right |+3\left | A_{22} \right |+8\left | A_3 \right |-6\left | A_4 \right |}{24}$

 

 

  
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#56
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Wow, thật bất ngờ khi bạn @chanhquocnghiem trả lời câu hỏi này bằng cách… tính cụ thể chi tiết ra như vậy! Nhưng đây chắc chắn không phải phương thức mà mình tìm ra điều thú vị trên.
Quay lại một chút với số biến bằng $3$.
Ta có điều tương tự:
$f(n,3)=\frac{|A|+3|A_2|+2|A_3|}6$
thì $f(n-3,3)=\frac{|A|-3|A_2|+2|A_3|}6$
Hay đi xa hơn với số biến bằng $5$ (xin xem trong bài này)
Ta cũng có:
\begin{align*}f(n-1&0,5)= \\ &=\frac{|A|-10|A_2|+15|A_{22}|-20|A_{23}|+20|A_3|-30|A_4|+24|A_5|}{5!}\end{align*}
Nếu thay các dấu “$-$” bằng dấu “$+$” thì là $f(n,5)$
Phải có nguyên do gì đó… :D




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh