Anh kỹ lưỡng quá! Thank you.Xét phương trình $x_1+x_2+x_3+…+x_k=n$ ($n\geqslant k$)
Gọi $p$ là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho $n-2k+p\ \vdots\ 3$ ($p$ là số nguyên xác định và $p\in \left \{ 0,1,2 \right \}$)
Gọi $k_1$ là số số hạng ở vế trái có dạng 3t+1. Ta có $k_1=p+3q$ (với $q$ từ $0$ đến $m={ \lfloor \frac{k-p}{3} \rfloor }$)
Xét các trường hợp :
1) $k_1=p$ ($q=0$)
Chọn ra $p$ số hạng có dạng 3t+1 (có $C_k^p$ cách)
Đặt tên lại $p$ số hạng 3t+1 là $a_1,…,a_p$ (chú ý $p$ là số nguyên xác định và $p\in\left \{ 0,1,2\right \}$)
Và $k-p$ số hạng 3t+2 là $b_1,b_2,…,b_{k-p}$. Ta có các trường hợp :
a) $\left\{\begin{matrix} a_1+...+a_p=p\\b_1+b_2+...+b_{k-p}=n-p \end{matrix} \right.$
Theo các bổ đề 1 và 2 trên kia thì hệ này có $C_{p-1}^{p-1}C_{\frac{n+k-2p-3}{3}}^{k-p-1}$ nghiệm
b) $\left\{\begin{matrix} a_1+…+a_p=p+3\\b_1+b_2+…+b_{k-p}=n-p-3 \end{matrix} \right.$
Hệ này có $C_p^{p-1}C_{\frac{n+k-2p-6}{3}}^{k-p-1}$ nghiệm.
……………………………………………….
Tổng cộng $C_{p-1}^{p-1}C_{\frac{n+k-2p-3}{3}}^{k-p-1}+C_p^{p-1}C_{\frac{n+k-2p-6}{3}}^{k-p-1}+…=C_{\frac{n+k+p-3}{3}}^{k-1}$
Vậy trường hợp 1 có $C_k^pC_{\frac{n+k+p-3}{3}}^{k-1}$ nghiệm.
2) $k_1=p+3$ ($q=1$)
Tương tự như trên, tính được trường hợp 2 có $C_k^{p+3}C_{\frac{n+k+p}{3}}^{k-1}$ nghiệm.
…………………………………………………
…………………..…………………………….
m+1) $k_1=p+3m$ ($q=m$)
Cũng tương tự, trường hợp m+1 có $C_k^{p+3m}C_{\frac{n+k+p+3m-3}{3}}^{k-1}$ nghiệm.
Vậy đáp án cuối cùng là $\sum_{q=0}^{\left \lfloor \frac{k-p}{3} \right \rfloor }C_k^{p+3q}C_{\frac{n+k+p+3q-3}{3}}^{k-1}$
(trong đó $p$ là số được xác định như đã nói ở trên)
Bài em đây, nhờ anh xem giúp:
Vì $\frac{z+z^{2}}{1-z^{3}}=z+z^{2}+z^{4}+z^{5}+z^{7}+z^{8}+...$ nên ta có hàm sinh $g(z)=\left ( \frac{z+z^{2}}{1-z^{3}} \right )^{k}$
Hệ số của số hạng $z^n$:
$ \left [ z^{n} \right ]g(z)=\left [ z^{n-k} \right ]\left ( \frac{1+z}{1-z^{3}} \right )^{k}\\
=\left [ z^{n-k} \right ]\sum_{i=0}^{\infty }\binom{k}{i}z^{i}\sum_{j=0}^{\infty }\left ( -1 \right )^j\binom{-k}{j}z^{3j}=\sum_{j=0}^{\infty }\binom{k}{n-k-3j}\left ( -1 \right )^j\binom{-k}{j}\\
=\sum_{j=0}^{\infty }\binom{k}{n-k-3j}\binom{j+k-1}{j}$
Do đó số nghiệm là :
$\boxed {\sum_{j=0}^{\left \lfloor \frac{n-k}{3} \right \rfloor}\binom{k}{n-k-3j}\binom{j+k-1}{j}}$