Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Giải phương trình $\sqrt[3]{x^{2}-1} - \sqrt{x^{3}-2} + x=0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 01-07-2022 - 10:35

Giải phương trình $\sqrt[3]{x^{2}-1} - \sqrt{x^{3}-2} + x=0$



#2 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 01-07-2022 - 11:09

Điều kiện : $x\geq \sqrt[3]{2} >1$

$\sqrt[3]{x^{2}-1} - \sqrt{x^{3}-2} + x=0$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^{2}-1}-2+5 - \sqrt{x^{3}-2} +x-3=0$

$\Leftrightarrow (x-3)\left [ \frac{x+3}{\sqrt[3]{x^{2}-1}^{2}+2\sqrt[3]{x^{2}-1} +4} +1-\frac{x^{2}+3x+9}{5+\sqrt{x^{3}-2}} \right ]=0$
Ta sẽ đi cm $\left [ \frac{x+3}{\sqrt[3]{x^{2}-1}^{2}+2\sqrt[3]{x^{2}-1} +4} +1-\frac{x^{2}+3x+9}{5+\sqrt{x^{3}-2}} \right ] <0$

Ta sẽ đi cm $\frac{x+3}{\sqrt[3]{x^{2}-1}^{2}+2\sqrt[3]{x^{2}-1} +4} +1 < 2$ 
$\Leftrightarrow x-1< \sqrt[3]{x^{2}-1}^{2}+2\sqrt[3]{x^{2}-1}$

Đặt $t=\sqrt[3]{x^{2}-1} > 0 \Rightarrow x=\sqrt{t^{3}+1}$
$\Leftrightarrow \sqrt{t^{3}+1}< t^{2}+2t+1$

Điều này luôn đúng vì bình phương lên là mất $t^{3}+1$ và VP là 1 đại lượng dương
Ta sẽ đi chứng minh  $\frac{x^{2}+3x+9}{5+\sqrt{x^{3}-2}}> 2$
$\Leftrightarrow x^{2}+3x+9> 2\sqrt{x^{3}-2}+10 \Leftrightarrow x^{2}+3x-1> 2\sqrt{x^{3}-2}$

$\Leftrightarrow x^{4}+9x^{2}+1+6x^{3}-6x-2x^{2}> 4(x^{3}-2)\Leftrightarrow x^{4}+2x^{3}+9+7x^{2}-6x>0$
$(x^{2}+x)^{2} + (x-3)^{2}+5x^{2} > 0$ ( luôn đúng) 
Vậy $\left [ \frac{x+3}{\sqrt[3]{x^{2}-1}^{2}+2\sqrt[3]{x^{2}-1} +4} +1-\frac{x^{2}+3x+9}{5+\sqrt{x^{3}-2}} \right ] <0$ nên vô nghiệm
Vậy x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sangnguyen3: 01-07-2022 - 21:33


#3 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 01-07-2022 - 22:29

Giải phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2-x^{2}}} =2$

Lời giải : 

Điều kiện : $-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$

$<=> \frac{1-x}{x} + \frac{1-\sqrt{2-x^{2}}}{\sqrt{2-x^{2}}}=0$

$<=> \frac{(x-1)(x+1)}{\left ( 1+\sqrt{2-x^{2}} \right )\left ( \sqrt{2-x^{2}} \right )} - \frac{x-1}{x}=0$

$<=> (x-1)\left ( \frac{x+1}{\sqrt{2-x^{2}}+2-x^{2}} -\frac{1}{x} \right )=0$

TH1 : x=1 (TM)

TH2 : $\left ( \frac{x+1}{\sqrt{2-x^{2}}+2-x^{2}} -\frac{1}{x} \right )=0$

$<=> \frac{x+1}{\sqrt{2-x^{2}}+2-x^{2}}=\frac{1}{x}$

$<=>x^{2}+x=\sqrt{2-x^{2}} + 2-x^{2}<=>2x^{2}-2 + x-\sqrt{2-x^{2}}=0 (*)$
Xét trường hợp : $x+\sqrt{2-x^{2}}=0<=>x=-\sqrt{2-x^{2}}$

Sau khi giải phương trình này thì dễ thấy không có x thỏa mãn 
Xét trường hợp : $x+\sqrt{2-x^{2}}\neq 0$

$(*) <=> 2x^{2}-2 + \frac{2x^{2}-2}{x+\sqrt{2-x^{2}}} =0$
$<=>(x^{2}-1)\left ( 1+\frac{1}{x+\sqrt{2-x^{2}}} \right )=0$

TH1 : $x^{2}-1=0 <=> x=1 (TM) hoặc x= -1(KTM)$

TH2: $1+\frac{1}{x+\sqrt{2-x^{2}}}=0<=>x+1+\sqrt{2-x^{2}}=0 <=>\sqrt{2-x^{2}}=-(x+1)$

$<=> 2-x^{2}=x^{2}+2x+1$ và $x\leq -1$
$<=>2x^{2}+2x-1=0<=>x=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} (TM)$
Vậy $S=\left \{ 1;\frac{-1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}\right \}$



#4 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 06-07-2022 - 21:40

Giải phương trình : 
( Đề chuyên toán Quốc Học Huế 2022)

$\left ( x^{2}+6 \right )\sqrt{x^{2}+6x+12}=\left ( 3x^{2}+10x+28 \right )\sqrt{x+1}$

Giải :  Điều kiện $x> -1$

Đặt $x^{2}+6=a> 0, x+1=b > 0$

Phương trình trở thành : 

$a\sqrt{a+6b}=\left ( 3a+10b \right )\sqrt{b}$

$\Leftrightarrow a^{2}\left ( a+6b \right )=b\left ( 100b^{2}+60ab+9a^{2} \right ) \Leftrightarrow 100b^{3}-a^{3}+60ab^{2}+3a^{2}b=0$

$\Leftrightarrow 100\left (\frac{b}{a} \right )^{3} +60\left ( \frac{b}{a} \right )^{2} + 3 \frac{b}{a} -1=0$

Đặt $\frac{b}{a}=t> 0$ . Phương trình trở thành : 

$100t^{3}+60t^{2}+3t-1=0\Leftrightarrow\left ( t-\frac{1}{10} \right )\left ( 100t^{2}+70t+10 \right )=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{10} \Leftrightarrow 10b=a \Leftrightarrow x^{2}-10x-4=0$

$\Leftrightarrow x=5\pm \sqrt{29} (TM)$

Vậy S=$\left \{ 5+\sqrt{29};5-\sqrt{29} \right \}$



#5 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 06-07-2022 - 22:56

Giải phương trình : 
$\frac{1}{\sqrt{x+3}} + \frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{\sqrt{x}+1}$

Giải : 
Điều kiện : $x\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x+3}}+\sqrt{\frac{x}{x+3}} + \sqrt{\frac{1}{3x+1}} + \sqrt{\frac{x}{3x+1}} =2$

$\sqrt{\frac{1}{x+3}}=\sqrt{\frac{2}{x+3}.\frac{1}{2}} \leq \frac{1}{2}\left ( \frac{2}{x+3}+\frac{1}{2} \right ) ; \sqrt{\frac{x}{x+3}}=\sqrt{\frac{x}{x+1}.\frac{x+1}{x+3}} \leq \frac{1}{2}\left ( \frac{x}{x+1} +\frac{x+1}{x+3} \right ); \sqrt{\frac{1}{3x+1}} = \sqrt{\frac{1}{x+1}.\frac{x+1}{3x+1}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x+1} +\frac{x+1}{3x+1}\right );\sqrt{\frac{x}{3x+1}}=\sqrt{\frac{2x}{3x+1}.\frac{1}{2}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{2x}{3x+1} +\frac{1}{2} \right )$

$\Rightarrow VT\leq 2$. Dấu bằng $"= " \Leftrightarrow x=1$

Vậy $S=\left \{ 1 \right \}$



#6 Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Cờ tướng

Đã gửi 13-07-2022 - 21:07

Giải phương trình $\sqrt[3]{x^{2}-1} - \sqrt{x^{3}-2} + x=0$

Một cách liên hợp khác : 

PT $\Leftrightarrow$$\sqrt{x^{3}-2}-x-\sqrt[3]{x^{2}-1}=0$

     $\Leftrightarrow (\sqrt{x^{3}-2}-2x+1)+(x-\sqrt[3]{x^{2}-1})=0 $

     $\Leftrightarrow \frac{x^{3}-4x^{2}+4x-3}{\sqrt{x^{3}-2}+2x-1}+\frac{x^{3}-4x^{2}+3x}{\sqrt{x^{3}-2}+2x-1}+\frac{x(x-1)}{(x-1)^{2}+(x-1)\sqrt[3]{x^{2}-1}+\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}$

     $\Leftrightarrow (x-3)[\frac{x^{2}-x+1}{\sqrt{x^{3}-2}+2x-1}+\frac{x(x-1)}{(x-1)^{2}+(x-1)\sqrt[3]{x^{2}-1}+\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}]=0$

Với $x\geq \sqrt[3]{2}>1$ nên suy ra cái cụm dài dài kia luôn > 0


Death is like the wind, always by my side  :ph34r:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh