Đến nội dung

Hình ảnh

$0< | a+b \sqrt{2} + c \sqrt{3}| < \epsilon$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1643 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi $\epsilon >0$ Tồn tại các số nguyên $a;b;c$ sao cho :

 

$0< | a+b \sqrt{2} + c \sqrt{3}| < \epsilon$


Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 538 Bài viết

Mong là không có gì sai sót ạ:

Cho $a=0$, ta sẽ chứng minh $$\forall \epsilon >0,\exists b,c\in\mathbb Z: 0<|b\sqrt{2}-c\sqrt{3}|<\epsilon$$

Xét phương trình nghiệm nguyên dương: $3s^2-2t^2=1$. (*)

Xét hai dãy số $(x_n)$ và $(y_n)$ cho bởi công thức:

$$\begin{cases} x_1 = 3; y_1=1 \\ x_{n+1}=5x_n+12y_n \\ y_{n+1}=2x_n+5y_n \end{cases}$$

Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được với mọi $n$, $(x_n,y_n)$ là một cặp nghiệm của phương trình nghiệm nguyên dương: $$x^2-6y^2=3$$

Mặt khác dễ thấy $3\mid x_n,\forall n\in\mathbb N^*$.

Từ đó với mọi $n\in\mathbb N^*$, $\left(\frac{x_n}{3},y_n\right)$ là một nghiệm nguyên dương của phương trình (*).

Hơn nữa, $\lim_{n\to+\infty} \frac{x_n}{3} =\lim_{n\to+\infty} y_n=+\infty$.

Do đó chọn $c,b\in\mathbb N^*$ đủ lớn sao cho $3c^2-2b^2=1$ và $b\sqrt{2}+c\sqrt{3}>\frac{1}{\epsilon}$, ta được $0<|b\sqrt{2}-c\sqrt{3}|<\epsilon$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 01-07-2022 - 22:41


#3
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 658 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi $\epsilon >0$ Tồn tại các số nguyên $a;b;c$ sao cho :

 

$0< | a+b \sqrt{2} + c \sqrt{3}| < \epsilon$

Ta thấy rằng tồn tại vô hạn $n$ nguyên dương thỏa mãn $2n^2-\left \lfloor n\sqrt{2} \right \rfloor^2=1$ (xem thêm ở đây). Khi đó

$$n\sqrt{2}-\left \lfloor n\sqrt{2} \right \rfloor=\frac{1}{n\sqrt{2}+\left \lfloor n\sqrt{2} \right \rfloor}<\frac{1}{2n\sqrt{2}-1}.$$

Vì tồn tại vô hạn $n$ nên hoàn toàn có thể chọn $n$ sao cho $\frac{1}{2n\sqrt{2}-1}<\epsilon$, dẫn tới 

$$0<\left|\left \lfloor n\sqrt{2} \right \rfloor-n\sqrt{2}+0\cdot\sqrt{3}\right|<\epsilon.$$

Vậy với $a=\left \lfloor n\sqrt{2} \right \rfloor, b=-n$ và $c=0$ thì thỏa đề.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 02-07-2022 - 07:25

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#4
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1643 Bài viết

Bài này chỉ có $1$ dòng thôi: $ \lim_{n \to + \infty} (\sqrt{2} -1)^n =0$
Cặp đôi " Hoàng -Phát" này giỏi quá. Hi vọng với cặp đôi này thì VMF ta chẳng mấy chốc mà HOÀNG PHÁT (PHÁT TRIỂN RỰC RỠ)


Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4958 Bài viết

Mỗi hướng giải đều có ý đẹp :D Nhưng hướng của nhungvienkimcuong sẽ dễ mở rộng lên thế này:

 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $q$ không chính phương và với mọi $\varepsilon$ dương, luôn tồn tại $a, b$ nguyên để

$$ 0 < |a + b\sqrt{q}| \le \varepsilon$$

Nếu mình hiểu đúng thì mệnh đề này sẽ suy ra là tập $\{a+b\sqrt{q}\}$ có tính trù mật nhỉ?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 658 Bài viết

Nếu mình hiểu đúng thì mệnh đề này sẽ suy ra là tập $\{a+b\sqrt{q}\}$ có tính trù mật nhỉ?

Phải là ngược lại mới đúng á anh  :lol: . Vì tập $\left\{a+b\sqrt{q}:a,b\in \mathbb{Z}\right\}$ trù mật trong $\mathbb{R}$ nếu với hai số dương $\epsilon_1,\epsilon_2$ bất kì ($\epsilon_1<\epsilon_2$) thì tồn tại $a,b$ sao cho $\epsilon_1<\left|a+b\sqrt{q}\right|<\epsilon_2$.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#7
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4958 Bài viết

Phải là ngược lại mới đúng á anh  :lol: . Vì tập $\left\{a+b\sqrt{q}:a,b\in \mathbb{Z}\right\}$ trù mật trong $\mathbb{R}$ nếu với hai số dương $\epsilon_1,\epsilon_2$ bất kì ($\epsilon_1<\epsilon_2$) thì tồn tại $a,b$ sao cho $\epsilon_1<\left|a+b\sqrt{q}\right|<\epsilon_2$.

Thì bởi thế mình mới nói là vì chứng minh được mệnh đề

 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $q$ không chính phương và với mọi $\varepsilon$ dương, luôn tồn tại $a, b$ nguyên để

$$ 0 < |a + b\sqrt{q}| \le \varepsilon$$

 

nên tập $\{ a +b \sqrt{q}|a,b \in \mathbb{Z}\}$ trù mật :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#8
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2409 Bài viết

Tới tận hôm nay mới biết "trù mật" có nghĩa là... dense! Không biết là học sinh bây giờ thế nào chứ mình không nhớ là đã từng được học cái này thời chuyên Toán THPT, mặc dù đã từng có nghe nhắc tới (chắc nhờ lướt diễn đàn :D). Tên nghe có vẻ cao siêu quá nhỉ, không biết do vị tiền bối nào dịch, nhưng mình đoán là được dịch từ tiếng Tàu ra vì nếu dịch từ tiếng Anh hay tiếng Pháp thì một cách tự nhiên sẽ ra những từ thân thuộc hơn, ví dụ như "dày đặc". "Trù" chắc là trong từ "trù phú", còn "mật" thì trong từ "mật độ", như vậy thì có vẻ cũng rất sát nghĩa. Tuy nhiên đối với người nghe bình thường thì không được descriptive lắm, cá nhân mình không thích tên này. "Tập $A$ dày đặc trong tập $B$", nghe cũng không đến nỗi.
 
Lan man vậy đủ rồi, xin lỗi anh em :D 
 
 

Mỗi hướng giải đều có ý đẹp :D Nhưng hướng của nhungvienkimcuong sẽ dễ mở rộng lên thế này:
 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $q$ không chính phương và với mọi $\varepsilon$ dương, luôn tồn tại $a, b$ nguyên để
$$ 0 < |a + b\sqrt{q}| \le \varepsilon$$

Anh thấy hướng giải nào cũng giải được bài mở rộng ở trên hết Hân à. Ví dụ như cách khai triển $(\sqrt{2} - 1)^n$, có thể thay bằng $(\sqrt{q} - \lfloor \sqrt{q}\rfloor )^n$, cũng rất đơn giản.
 

Nếu mình hiểu đúng thì mệnh đề này sẽ suy ra là tập $\{a+b\sqrt{q}\}$ có tính trù mật nhỉ?

 

Phải là ngược lại mới đúng á anh  :lol: . Vì tập $\left\{a+b\sqrt{q}:a,b\in \mathbb{Z}\right\}$ trù mật trong $\mathbb{R}$ nếu với hai số dương $\epsilon_1,\epsilon_2$ bất kì ($\epsilon_1<\epsilon_2$) thì tồn tại $a,b$ sao cho $\epsilon_1<\left|a+b\sqrt{q}\right|<\epsilon_2$.

 

Thì bởi thế mình mới nói là vì chứng minh được mệnh đề

nên tập $\{ a +b \sqrt{q}|a,b \in \mathbb{Z}\}$ trù mật :D

Thảo luận rất hay! Như nhungvienkimcuong nói ở trên, mệnh đề "$0$ là điểm giới hạn (limit point) của tập $S$" tất nhiên là không đồng nghĩa với "$S$ trù mật (trong $\mathbb{R}$)". Hân nói từ mệnh đề có thể suy ra được, thì tất nhiên cũng đúng, nhưng nói như vậy thì cũng giống như nói rằng "có cách chứng minh $S$ (đã cho) trù mật, mà một bước trong đó ta chứng minh $0$ là điểm giới hạn của $S$", câu này đúng nhưng không hữu ích gì lắm vì từ điểm giới hạn $0$ suy ra trù mật cũng phải chứng minh chứ không hiển nhiên (và tất nhiên là chỉ đúng với $S$ đã cho ở trên). 

 

Từ đây tự nhiên sẽ có một câu hỏi rất hay: Với tập $S$ như thế nào thì hai mệnh đề ở trên là tương đương?

 

Tìm được tất cả tập $S$ như vậy thì có lẽ là rất khó (cơ mà diễn đàn nhiều cao thủ, biết đâu đấy), nhưng anh em thử tìm được $S$ tổng quát nhất có thể. Ví dụ Nesbit tìm được như sau (hi vọng không sai, dạo này đầu óc hơi chậm, rất hay nhầm lẫn):

 

Cho $S\subset\mathbb{R}$ thoả mãn: nếu $x\in S,y\in S$ thì $x+y\in S$ và $-x\in S$. Khi đó:

$$0 \text{ là điểm giới hạn của } S \iff S \text{ trù mật trong }\mathbb{R}.$$ 

 

Một kết quả mạnh hơn:

 

Cho $S\subset\mathbb{R}$ thoả mãn: nếu $x\in S$ thì $nx\in S$ với mọi $n\in\mathbb{Z}$. Khi đó:

$$0 \text{ là điểm giới hạn của } S \iff S \text{ trù mật trong }\mathbb{R}.$$ 

 

Cũng khá đẹp đấy chứ? Mời anh em thử chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 06-07-2022 - 15:52
Thêm $-x\in S$.

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#9
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4958 Bài viết

Ý, anh Nesbit đưa ra nhận xét hay quá. Công lực em mai một đã nhiều nhưng để em thử xem :D

Còn về ý kiến ban đầu của em thì thú thật là em viết không đầy đủ ký hiệu nên có vẻ mọi người hiểu nhầm :( Em muốn nói tới phần lẻ của số $a + b \sqrt{q}$ (ký hiệu là $\{a + b\sqrt{q}\}$) chứ không phải là tập $\mathbb{Z}[\sqrt{q}] = \{a + b\sqrt{q} | a, b \in \mathbb{Z} \}$. Cái này có vẻ thuộc về lý thuyết nhóm Galois.

 

Còn mệnh đề em muốn nói thì poset đã nói mệnh đề tổng quát hơn ở đây rồi https://diendantoanh...-đường-thẳng-0/

 

Với $a$ vô tỷ thì tập $\left ( \left \{ ax+b \right \}|x\in \mathbb{Z} \right )$ trù mật trên $\left [ 0;1 \right ]$  :icon6:

 

 


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#10
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2409 Bài viết

Chứng minh thực ra rất đơn giản (và rất ngắn), mai anh sẽ đăng gợi ý nếu Hân vẫn chưa xử được.

 

Có một vài kết quả khác mạnh hơn nữa, định từ từ đợi anh em giải bài ở trên đã rồi đăng lên nhưng mà thấy không ai giải nên chắc cuối tuần đăng lên luôn thể :P Chắc là sẽ tạo topic mới ở box Toán Đại học vì dạng bài kiểu này có vẻ phù hợp với ở đó hơn (và chắc cũng sẽ thu hút được nhiều anh em khác hơn).


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#11
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4958 Bài viết

Cho em hỏi: "điểm giới hạn" ở đây định nghĩa cụ thể là thế nào ạ? Là "tồn tại một dãy con $(x_n)$ trong $S$ sao cho $\lim x_n = 0$" ạ?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#12
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2409 Bài viết

Xin lỗi anh bỏ qua chưa nhắc tới định nghĩa vì tưởng là đã rõ rồi. Câu "với mọi $\varepsilon > 0$, luôn tồn tại $a, b$ nguyên để $ 0 < |a + b\sqrt{q}| \le \varepsilon$" hoàn toàn đồng nghĩa với "$0$ là điểm giới hạn của $\left\{a+b\sqrt{q}:a,b\in \mathbb{Z}\right\}$". Vì thế anh mới viết lại mệnh đề theo điểm giới hạn cho gọn.

 

Định nghĩa: $x_0$ là điểm giới hạn của $S\subset \mathbb{R}$ khi với mọi $\epsilon > 0$, luôn tồn lại $x\in S$ sao cho $|x-x_0| < \epsilon$. Định nghĩa Hân đưa ra cũng tương đương với định nghĩa này.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh