Đến nội dung

Hình ảnh

$ I=\int_0^1 \dfrac{1}{\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor} dx $

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Tính tích phân (suy rộng) chứa hàm phần nguyên sau:
$$ I=\int_0^1 \dfrac{1}{\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor} dx $$

#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Tích phân này không xác định đúng không thầy? Nếu chọn một dãy $(x_n) = \frac{1}{n}$ thì $I \ge \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{n}}$. Mà vế phải là tổng điều hòa nổi tiếng và không bị chặn trên, nên $I$ không xác định.

 

P/S: Chào mừng thầy Thanh quay lại :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Hôm qua là ngày gì mà hai lão thành của VMF cùng quay lại một lúc thế này  :D Anh em làm chầu chúc mừng thôi!!!

 

(Trước đây có cái icon cụng bia mà giờ lục không thấy, hôm nào phải cài lại mới được)


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#4
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Tích phân này không xác định đúng không thầy? Nếu chọn một dãy $(x_n) = \frac{1}{n}$ thì $I \ge \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}}$. Mà vế phải là tổng điều hòa nổi tiếng và không bị chặn trên,…

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor}$
Trên $(0,1]$
Với $\frac{1}{n+1}< x\le \frac{1}{n}\ \ (n\in\mathbb N^*)$
ta có: $n\le \frac{1}{x}< n+1 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{n}$

P/s: Có vẻ Hân nhầm lẫn giữa tổng điều hoà với tích phân xác định thì phải. Vẽ thử đồ thị hàm $f(x)$ và tính tổng diện tích xem nào :)) Còn vi phân $dx$ bỏ đâu rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 08-07-2022 - 21:33


#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Hôm qua là ngày gì mà hai lão thành của VMF cùng quay lại một lúc thế này  :D Anh em làm chầu chúc mừng thôi!!!

 

(Trước đây có cái icon cụng bia mà giờ lục không thấy, hôm nào phải cài lại mới được)

Có cảnh anh Khuê nữa thì vui quá ấy chứ :icon6:  Cơ mà cụng bia trên diễn đàn toán có ổn không anh?

 

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor}$
Trên $(0,1]$
Với $\frac{1}{n+1}< x\le \frac{1}{n}\ \ (n\in\mathbb N^*)$
ta có: $n\le \frac{1}{x}< n+1 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{n}$

P/s: Có vẻ Hân nhầm lẫn giữa tổng điều hoà với tích phân xác định thì phải. Vẽ thử đồ thị hàm $f(x)$ và tính tổng diện tích xem nào :)) Còn vi phân $dx$ bỏ đâu rồi.

Ái chà, chết thật :( Để em làm lại thầy ơi.

Chia $]0;1]$ thành các đoạn $U_n =\left] {\frac{1}{{n + 1}};\frac{1}{n}} \right] (\forall n \in N)$ thì ta có:

\[f\left( x \right) = \frac{1}{n}\forall x \in U_n \forall n \in N\]

Do đó, ta có:

\[I = \int_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_{{U_n}}^{} {f\left( x \right)dx} }  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{n} \times \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)}  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^2}\left( {n + 1} \right)}}} \]

Ta biết chuỗi $\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^2}\left( {n + 1} \right)}}}$ tăng và bị chặn bởi $\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^3}}}}  = \zeta \left( 3 \right)$ nên chuỗi này sẽ hội tụ.

 

 

Mỗi tội em chưa biết tính thế nào. WolframAlpha đưa ra số $\frac{{{\pi ^2}}}{6} - 1$ một cách ảo diệu :wacko:


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Thì đúng rồi đó!
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$
Cái tổng đầu là $\zeta(2)$, cái sau thấy rõ sai phân:
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

P/s: Đôi khi ta lại nghiêm trọng hoá vấn đề… :))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 08-07-2022 - 22:27


#7
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Thì đúng rồi đó!
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$
Cái tổng đầu là $\zeta(2)$, cái sau thấy rõ sai phân:
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

P/s: Đôi khi ta lại nghiêm trọng hoá vấn đề… :))

À nhỉ. Em kém tinh ý quá  :D 


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh