Chủ đề này có 3 trả lời

[hxthanh]

Với mỗi số nguyên không âm $n \, , \, $ xét hàm số:
$$\mathbb{F}_n(x)=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{k}x^{n-k}\sum_{j=1}^{\lfloor x\rfloor} j^k$$
$1.$ Chứng minh rằng hàm $\mathbb{F}_n(x)$ liên tục trên $[1,+\infty)$ với $n \geq 1$
$2.$ Chứng minh rằng: $$\int_1^x \mathbb{F}_n(t)dt = \mathbb{F}_{n+1}(x) \,\,\, , (x\geq 1)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 13-07-2022 - 21:09

[Nobodyv3]

@sú pẹc mem bờ: Chít nị chưa! Định test ngộ hả? Ngộ còn bén lắm nhé và lợi hại hơn xưa...Batman return!...
Loa, loa, loa...Batman đại chiến Superman gay cấn, hấp dẫn mời quý vị đón xem...

[hxthanh]

Minh hoạ tí cho nó sinh động
Cho $n=3$ và lấy tích phân từ $x=1 \to 3$
Ta có $\int_1^3 \mathbb{F}_3(t)dt=$

Mặt khác ta có $\mathbb{F}_4(3)=$

[hxthanh]

Với mỗi số nguyên không âm $n \, , \, $ xét hàm số:
$$\mathbb{F}_n(x)=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{k}x^{n-k}\sum_{j=1}^{\lfloor x\rfloor} j^k$$
$1.$ Chứng minh rằng hàm $\mathbb{F}_n(x)$ liên tục trên $[1,+\infty)$ với $n \geq 1$
$2.$ Chứng minh rằng: $$\int_1^x \mathbb{F}_n(t)dt = \mathbb{F}_{n+1}(x) \,\,\, , (x\geq 1)$$

Nhìn hàm $\mathbb{F}_n(x)$ có vẻ “phức tạp” vậy thôi chứ thực tế có thể viết lại thành
$\mathbb{F}_n(x)=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{k}x^{n-k}\sum_{j=1}^{\lfloor x\rfloor} j^k=\frac{1}{n!}\sum_{j=1}^{\lfloor x \rfloor}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^kj^kx^{n-k}$
$\mathbb{F}_n(x)= \frac{1}{n!}\sum_{j=1}^{\lfloor x \rfloor}(x-j)^n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Từ $(*)$ ta dễ dàng chứng minh được hàm $\mathbb{F}_n(x)$ liên tục, bằng cách xét $x$ trên các khoảng không nguyên $(m,m+1); \,m\in \mathbb Z^+$ khi đó $\lfloor x \rfloor=m$ thay vào $(*)$ ta được hàm đa thức, vậy nó liên tục. Giờ xét tính liên tục của hàm $\mathbb{F}_n(x)$ tại các điểm $x=m$ nguyên, bằng giới hạn trái, giới hạn phải cũng không khó khăn gì.
Tiếp theo cũng từ $(*)$ và bằng cách xét như trên ta chứng minh được $\mathbb{F}_{n+1}(x)$ chính là nguyên hàm của $\mathbb{F}_n(x)$
(Chú ý rằng $\mathbb{F}_{n+1}(1)=0$)
Ta có kết luận của ý 2.
Tuy nhiên nếu mổ xẻ bài toán ra một chút, ta gặp chút vấn đề như sau:
Lần lượt cho $n=1;\,n=2$ ta có:
$$\begin{equation}\label{(1)}\mathbb{F}_1(x)=x\lfloor x\rfloor - \frac{\lfloor x\rfloor(\lfloor x\rfloor +1)}{2}\end{equation}$$
$$\begin{equation}\label{(2)}\mathbb{F}_2(x)=\frac{x^2 \lfloor x\rfloor}{2} -\frac{x \lfloor x\rfloor(\lfloor x\rfloor+1)}{2} +\frac{\lfloor x\rfloor(\lfloor x\rfloor+1)(2\lfloor x\rfloor+1)}{12}\end{equation}$$
Xem $\lfloor x\rfloor $ như một “hằng số” ta thấy ngay $\mathbb{F}_2(x)$ đạo hàm sẽ ra $\mathbb{F}_1(x)$
Vậy tại sao từ $(\ref{(1)})$ lấy tích phân bất định không ra được $(\ref{(2)})$ ?

Sai ở đâu?
Còn nữa nếu $n=0$ thì sao?
Khi đó $$\begin{equation}\label{(3)}\mathbb{F}_0(x)=\lfloor x\rfloor\end{equation}$$
Ta biết rằng $\lfloor x\rfloor $ là hàm không liên tục, nó gián đoạn tại các điểm $x$ nguyên.
Như vậy theo $(\ref{(1)})$ thì $\mathbb{F}_1(x)$ có đạo hàm gián đoạn. Nói cách khác vì nó chứa hàm $\lfloor x\rfloor $ nên nó có đạo hàm gián đoạn dù bản thân nó liên tục.
Nhưng theo $(\ref{(2)})$ thì $\mathbb{F}_2(x)$ có đạo hàm liên tục dù nó có chứa hàm $\lfloor x\rfloor$