Chủ đề này có 1 trả lời

[lmtrtan123334]

Cho a,b,c là các số thực dương CMR:$\sqrt{\frac{a^2+bc}{a(b+c)}}+\sqrt{\frac{b^2+ca}{b(c+a)}}+\sqrt{\frac{c^2+ab}{c(a+b)}}+\sqrt{\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lmtrtan123334: 17-07-2022 - 11:03

[Sangnguyen3]

$\sqrt{\frac{a^{2}+bc}{a(b+c)}}=\frac{a^{2}+bc}{\sqrt{\left (a^{2}+bc \right ).(ab+ac)}}\geq \frac{2\left (a^{2}+bc \right )}{(a+b)(a+c)}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{2}+bc}{a(b+c)}}\geq \frac{2\sum \left [ \left ( a^{2}+bc \right )\left ( b+c \right ) \right ] }{\prod (a+b)}=\frac{4\left ( \sum ab(a+b) \right )}{\prod (a+b)}=\frac{4\prod (a+b)-8abc}{\prod (a+b)}=4-\frac{8abc}{\prod (a+b)}$

$\Rightarrow LHS \geq 4-\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}+\sqrt{\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}}$

$t=\sqrt{\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}} \leq 1$

$LHS \geq 4-t^{2}+t=4+t(1-t)\geq 4$