Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] PTH $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 2022

phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 29 trả lời

#1 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:210 ;)

Đã gửi 21-07-2022 - 21:40

Một topic để mọi người tổng hợp các bài toán phương trình hàm trên tập số thực

Bài 1. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f( xy+f( y)) =yf( x) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 23-07-2022 - 18:37


#2 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 22-07-2022 - 08:28

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thoả mãn $$f(x - f(y)) = 4f(x) + 3x + f(y),\forall x,y\in\mathbb R$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 22-07-2022 - 15:28


#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 22-07-2022 - 11:51

Bài 3. Tìm tất cả các hàm $f:\;\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn

$$\forall_{\left ( x, y \right )\in\mathbb{R}^{2}}\;f\left ( 2f\left ( xy \right )+ xf\left ( y \right )+ f\left ( x \right ) \right )= 3yf\left ( x \right )+ x$$



#4 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:210 ;)

Đã gửi 22-07-2022 - 15:00

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thoả mãn $$f(x - f(y)) = 4f(x) + 3x + f(y),\forall x,y\in\mathbb R$$

Tóm tắt ý tưởng :

$\displaystyle f( x-f( y)) =4f( x) +3x+f( y) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$

 
Ta thay $\displaystyle y=0$ vào giả thiết thì được $\displaystyle f( x-f( 0)) -4f( x) =3x+f( 0)$. Để ý rằng vế phải toàn ánh cho nên ta suy ra được rằng mọi số thực $\displaystyle u$ đều có thể được viết dưới dạng $\displaystyle f( t) -4f( v)$ với $\displaystyle t,v$ là các số thực được chọn phụ thuộc vào $\displaystyle u$. Thay $\displaystyle x=f( y)$ vào giả thiết ta được $\displaystyle 4f( f( y)) +4f( y) =f( 0)$
 
Do đó $\displaystyle f( f( y)) =-f( y) +\frac{f( 0)}{4}$. Ta muốn tính $\displaystyle f( f( x) -4f( y)) =f(( f( x) -3f( y)) -f( y)) =4f( f( x) -3f( y)) +3( f( x) -3f( y)) +f( y)$. Cho nên ý tưởng nảy sinh là đi tính $\displaystyle f( x) -3f( y)$ trước. Ta có 
 
$\displaystyle f( f( x) -f( y)) =4f( f( x)) +3( f( x)) +f( y)$
 
$\displaystyle =-4f( x) +f( 0) +3f( x) +f( y) =( f( y) -f( x)) +f( 0)$. 
 
Lặp lại tương tự ta có được $\displaystyle f( f( u) -4f( v)) =64f( 0) -( f( u) -4f( v)) \Longrightarrow f( x) =-x+c$, thử lại có $\displaystyle c=0$. 


#5 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:210 ;)

Đã gửi 22-07-2022 - 15:09

Một topic để mọi người tổng hợp các bài toán phương trình hàm trên tập số thực

Bài 1. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f( xy+f( y)) =yf( x) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Rõ ràng hàm $\displaystyle f\equiv 0$ thỏa mãn. Xét $\displaystyle f$ không là hàm hằng. Thay $\displaystyle y=0$ vào ta được $\displaystyle f( f( 0)) =0$. Đặt $\displaystyle f( 0) =c$. 
 
Tiếp theo ta thay $\displaystyle P( 0,c)$ thì được $\displaystyle f( 0) =cf( 0) =f( 0)^{2}$ cho nên có 2 trường hợp có thể xảy ra 
 
Trường hợp 1. $\displaystyle f( 0) =0$. Khi đó thay $\displaystyle x=0$ ta có $\displaystyle f( f( y)) =0$ tức $\displaystyle f$ là hằng số, điều này vô lí với giả sử 
 
Trường hợp 2. $\displaystyle f( 0) =1$. Thay $\displaystyle x=0$ suy ra $\displaystyle f( f( y)) =y$ tức $\displaystyle f$ là song ánh. Thay $\displaystyle P\left(\frac{f( y)}{1-y} ,y\right)$ vào giả thiết ta được $\displaystyle f\left(\frac{f( y)}{1-y}\right) =yf\left(\frac{f( y)}{1-y}\right)$. Ta có $\displaystyle f( f( 0)) =f( 1) =0$. Do $\displaystyle f$ là song ánh nên $\displaystyle 1$ là không điểm duy nhất của $\displaystyle f$. Ta có với mọi $\displaystyle y\neq 1$ thì $\displaystyle f\nequiv 0$ và ta có được $\displaystyle f\left(\frac{f( y)}{1-y}\right) =yf\left(\frac{f( y)}{1-y}\right)$. Suy ra $\displaystyle f\left(\frac{f( y)}{1-y}\right) =0$ dẫn tới $\displaystyle f( y) \equiv 1-y,\forall y\in \mathbb{R}$.


#6 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 22-07-2022 - 15:09

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thoả mãn $$f(x - f(y)) = 4f(x) + 3x + f(y),\forall x,y\in\mathbb R$$

Thay $x:=\frac{x-f(y)}{3}$ vào giả thiết ta có

$$f\left(\frac{x-f(y)}{3}-f(y)\right)=4f\left(\frac{x-f(y)}{3}\right)+x.$$

Do vậy ta có nhận xét: Với mọi $x$ thì luôn tồn tại $u,v$ sao cho $x=f(u)-4f(v).\qquad (1)$

Thay $x:=f(y)$ vào giả thiết ta có

$$4f(f(y))+4f(y)=f(0).\qquad (2)$$

Thay $x:=f(x)-f(y)$ vào giả thiết ta có

\begin{align*}f(f(x)-f(y))&=4f(f(x))+3f(x)+f(y)\\&\overset{(2)}{=} f(0)-f(x)+f(y).\end{align*}

Hoàn toàn tương tự, lần lượt thay $x$ bởi $f(x)-2f(y),f(x)-3f(y)$ ta thu được

$$f(f(x)-4f(y))=-f(x)+4f(y)+64f(0).$$

Kết hợp với $(1)$ dẫn tới $f(x)\equiv -x+64c$, phần còn lại là thay vào giả thiết và tìm $c$ thôi.

 

P/s: Ngày xưa mình ưng làm dạng này lắm  :lol: (ai muốn luyện tập thêm cho dạng này thì ở đây).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 22-07-2022 - 15:23

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#7 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:210 ;)

Đã gửi 22-07-2022 - 15:15

Bài 4. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f( y) -f( x) =f( y) f\left(\frac{x}{x-y}\right) ,\forall x,y\in \mathbb{R} ,x\neq y$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 23-07-2022 - 19:18


#8 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 22-07-2022 - 16:58

Bài 4. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f( y) -f( x) =f( y) f\left(\frac{x}{x-y}\right) ,\forall x,y\in \mathbb{R} ,x\neq y$.

Xét 2 trường hợp:

$\bullet$ Tồn tại $y_0\neq 0$ sao cho $f(y_0) = 0$ thì thay $y = y_0$ vào phương trình hàm đã cho ta có $f(x) = 0,\forall x \neq y_0$.

Ta được hàm thoả mãn $f(x) = 0,\forall x\neq 0$.

$\bullet$ $f(y)\neq 0,\forall y\neq 0$: Thay $y$ bởi $xy$ vào phương trình hàm đã cho, ta có:

$$f(xy) - f(x) = f(xy) f\left (\frac{1}{1-y}\right),\forall x,y \neq 0; y\neq 1$$

\begin{equation} \Leftrightarrow f(xy) = \dfrac{f(x)}{1 - f\left (\dfrac{1}{1-y}\right)},\forall x,y \neq 0; y\neq 1\end{equation}

Thay $x=1$ vào (1) ta có $$f(y) = \frac{f(1)}{1 - f\left (\dfrac{1}{1-y}\right)},\forall y\neq 1$$

$$\Leftrightarrow f\left (\dfrac{1}{1-y}\right) = 1 - \frac{f(1)}{f(y)},\forall y\neq 1 \text{ (*)}$$

Thay lại vào (1) ta có \begin{equation} f(xy) = \frac{f(x)f(y)}{f(1)},\forall x,y\neq 0;y\neq 1\end{equation}

Rõ ràng ở (2) thay $y=1$ vẫn cho ra đẳng thức đúng nên ta có thể bỏ điều kiện $y\neq 1$ đi.

Thay $y$ bởi $\frac{1}{x}$ vào (2) ta có $$f(x) . f\left(\frac{1}{x}\right) = f(1)^2,\forall x\neq 0$$

Kết hợp với (*): $$1-\frac{f(1)}{f(y)} = \frac{f(1)^2}{f(1-y)},\forall y\neq 0;y\neq 1$$

Ở đây thay $y$ bởi $1-y$ thì lại có 2 trường hợp con:

Nếu $f(1) \neq 1$ thì $f(y) = f(1-y),\forall y\neq 0;y\neq 1$. 

Từ đó $f(y) = f(1) + f(1)^2,\forall y\neq 0;y\neq 1$. Do $f(1)\neq 0$ nên dễ thấy hàm này không thoả mãn.

Nếu $f(1) = 1$ thì $\frac{1}{f(y)} + \frac{1}{f(1-y)} = 1,\forall y\neq 0;y\neq 1$.

Từ (2) ta có $f$ là hàm nhân tính.

Kết hợp giả thiết ta có $$f(y) - f(x) = f\left ( \frac{xy}{x-y} \right ),\forall x\neq y$$

Rõ ràng nếu xét hàm số $g:\mathbb R\to\mathbb R$ thoả mãn $g(x) = \frac{1}{f(x)},\forall x\neq 0$ và $g(0) = 0$ thì $g$ là hàm nhân tính và:

$$g\left(\frac{x-y}{xy}\right) = \frac{1}{g(y)} - \frac{1}{g(x)},\forall x,y\neq 0$$

Mà $g\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{g(x)},\forall x\neq 0$ nên $g$ là hàm cộng tính.

Suy ra $g$ vừa là hàm cộng tính, vừa là hàm nhân tính.

Dẫn đến $g(x) = x,\forall x\in\mathbb R$.

Do đó $f(x) = x,\forall x\neq 0$.

Tóm lại ta có hai hàm thoả mãn là $f(x) = 0 ,\forall x\neq 0$ và $f(x) = x,\forall x\neq 0$.

P/s: Theo mình nghĩ thì bài nào đã làm rồi thì nên tô đỏ :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 22-07-2022 - 16:59


#9 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:210 ;)

Đã gửi 24-07-2022 - 05:28

Bài 5. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f\left( x^{2}\right) +2f( xy) =xf( x+y) +yf( x) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 6. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn} $f( xf( x) +f( x) f( y) +y-1) =f( xf( x) +xy) +y-1,\forall x,y\in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 24-07-2022 - 05:32


#10 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 24-07-2022 - 17:21

Bài 5. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f\left( x^{2}\right) +2f( xy) =xf( x+y) +yf( x) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Thay $x=y=0$ vào phương trình hàm đã cho ta có $f(0)^2 + 2f(0) = 0\Leftrightarrow f(0) = 0$ hoặc $f(0) = -2$.

$\bullet$ $f(0) = 0$: Thay $y=0$ ta có $f(x^2) = xf(x),\forall x\in\mathbb R$. (1)

Thay $x=y$ ta có $3f(x^2)  = xf(2x) + xf(x),\forall x\in\mathbb R$. 

Kết hợp với (1) ta có $f(2x) = 2f(x),\forall x\in\mathbb R$.

Ở phương trình hàm ban đầu ta thay $x$ bởi $2x$ ta có:

$f(4x^2) + 2f(2xy) = 2xf(2x + y) + yf(2x),\forall x,y\in\mathbb R$

$\Leftrightarrow 4f(x^2) + 4f(xy) = 2xf(2x + y) + 2yf(x),\forall x,y\in\mathbb R$.

Kết hợp với phương trình hàm ban đầu ta có $2xf(2x + y) - 2xf(x+y) = 2f(x^2)$.

Kết hợp với (1) suy ra: $xf(2x+y) - xf(x+y) = xf(x),\forall x,y\in\mathbb R$

$\Rightarrow f(2x + y) = f(x+y) + f(x),\forall x\in\mathbb R\setminus \{0\}, y\in\mathbb R$.

Dẫn đến $f$ là hàm cộng tính.

Trong (1), thay $x$ bởi $x+1$ ta có: $f(x^2 + 2x + 1) = (x+1) (f(x) + f(1)),\forall x\in\mathbb  R$

$\Rightarrow f(x^2) + 2f(x) + f(1) = f(x) . x + f(x) + xf(1) + f(1),\forall x\in\mathbb  R$

$\Rightarrow f(x) = xf(1),\forall x\in\mathbb  R$.

Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn.

$\bullet$ $f(0) = -2$: Thay $x=0$ vào phương trình hàm ban đầu ta thấy vô lí.

Vậy $f(x) = ax,\forall x\in\mathbb R$. ($a$ là hằng số bất kì)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 24-07-2022 - 17:21


#11 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:210 ;)

Đã gửi 25-07-2022 - 04:32

Bài 7. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle xf( xy) +xyf( x) \geqslant f\left( x^{2}\right) f( y) +x^{2} y,\forall x,y\in \mathbb{R}$.



#12 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 25-07-2022 - 08:15

Bài 8: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to \mathbb R$ thoả mãn $$f\left (x^{2023} + f^{2023}(y)\right ) = y^{2023} + f^{2023}(x),\forall x,y\in\mathbb R$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 25-07-2022 - 08:15


#13 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1685 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 26-07-2022 - 07:25

$\textbf{Bài toán 9 (Kosovo Mathematical Olympiad 2022, TST, Problem 1) :}$ Tìm tất cả các hàm số $f$: $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn

$$f(x^2)+2f(xy)=xf(x+y)+yf(x).$$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$

 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#14 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1685 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 26-07-2022 - 14:05

$\textbf{Bài toán 10:}$ Tìm tất cả các hàm số $f$: $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn

$$f(xf(y)-y)+f(xy-x)+f(x+y)=2xy,\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.$$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#15 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 30-07-2022 - 16:10

Bài 7. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle xf( xy) +xyf( x) \geqslant f\left( x^{2}\right) f( y) +x^{2} y,\forall x,y\in \mathbb{R}$. $(*)$

Thay $x = y = 0$ vào $(*)$ ta có $f(0)^2\leq 0\Rightarrow f(0) = 0$.

Thay $x=y=1$ vào $(*)$ ta có $f(1)^2 + 1\leq 2f(1)\Rightarrow f(1) = 1$.

Thay $y = 1$ vào $(*)$ ta có $2xf(x) \geq f(x^2) + x^2,\forall x\in\mathbb R$. (1)

Thay $x = y$ vào $(*)$ ta có $xf(x^2) + x^2f(x) \geq f(x^2)f(x) + x^3,\forall x\in\mathbb R$

$\Leftrightarrow (x^2 - f(x^2))(f(x) - x)\geq 0,\forall x\in\mathbb R$. (2)

Giả sử tồn tại $a > 0$ sao cho $f(a) < a$. 

Khi đó sử dụng (2) ta có $a^2 \leq f(a^2)$.

Dẫn đến $f(a^2) + a^2 \geq 2a^2$.

Kết hợp với (1) ta có $2af(a) \geq 2a^2$

$\Rightarrow f(a)\geq a$, vô lí.

Do đó $f(x) \geq x,\forall x > 0$.

Giả sử tồn tại $b>0$ mà $f(b) >b$. 

Do $(b - f(b))(f(\sqrt{b})  -\sqrt{b})\geq 0$

$\Rightarrow f(\sqrt{b}) = \sqrt{b}$.

Thay $x=\sqrt{b}$ vào (1) ta thấy ngay điều vô lí.

Từ đó $f(x) = x,\forall x\in\mathbb R^+$.

Ở $(*)$, xét $x , y < 0$ ta có $xyf(x) \geq x^2f(y),\forall x,y < 0$

$\Rightarrow yf(x) \leq xf(y),\forall x,y < 0$.

Hoán đổi vị trí của $x,y$ ta có $xf(y) = yf(x),\forall x,y < 0$.

Dẫn đến $f(x) = cx,\forall x < 0$.

Sử dụng (1) ta có $2xf(x) \geq 2x^2,\forall x < 0$

$\Rightarrow cx^2\geq x^2,\forall x < 0$

$\Rightarrow c\geq 1$.

Với $c\geq 1$, lần lượt đổi dấu $x,y$ ta thấy hàm số $\begin{cases} f(x) = x \text{ nếu } x\geq 0 \\ f(x) = cx \ \text{ nếu } x < 0\end{cases}$ thoả mãn.

Vậy $\begin{cases} f(x) = x \text{ nếu } x\geq 0 \\ f(x) = cx \ \text{ nếu } x < 0\end{cases}$, với $c$ là hằng số bất kì không bé hơn $1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 30-07-2022 - 16:50


#16 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 30-07-2022 - 16:26

 

$\textbf{Bài toán 9 (Kosovo Mathematical Olympiad 2022, TST, Problem 1) :}$ Tìm tất cả các hàm số $f$: $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn

$$f(x^2)+2f(xy)=xf(x+y)+yf(x).$$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$

 

Thay $x = y = 0$ ta có $f(0) = 0$.

Thay $y=0$ ta có $f(x^2) = xf(x),\forall x\in\mathbb R$. (1)

Thay $x=1$ ta có $f(y+1) + yf(1) = f(1) + 2f(y),\forall y\in\mathbb R$

$\Leftrightarrow f(x+1) = 2f(x) - xf(1) + f(1),\forall x\in\mathbb R$. (2)

Thay $y=1$ ta có $xf(x+1)  = f(x^2) + f(x),\forall x\in\mathbb R$.

Kết hợp với (1), (2) ta có:

$x(2f(x) - xf(1) + f(1)) = xf(x) + f(x),\forall x\in\mathbb R$

$\Leftrightarrow xf(x) - x^2f(1) + f(1)x - f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R$

$\Leftrightarrow (x-1)(f(x) - xf(1)) = 0,\forall x\in\mathbb R$

$\Leftrightarrow f(x) = xf(1),\forall x\in\mathbb R \setminus\{1\}$.

Dẫn đến $f(x) = cx,\forall x\in\mathbb R$, với $c$ là hằng số nào đó.

Thử lại ta thấy thoả mãn.

Vậy $f(x) = cx,\forall x\in\mathbb R$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 02-08-2022 - 08:02


#17 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1685 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 01-08-2022 - 16:05

$\textbf{Bài toán 10:}$ Tìm tất cả các hàm số $f$: $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn

$$f(xf(y)-y)+f(xy-x)+f(x+y)=2xy,\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.$$

Bài này em/ mình bí khá lâu và tình cờ khi đọc bài THTT T11/414 thì mình có ý tưởng giải như sau: (Bài T11/414 cũng na ná bài này nhưng dễ hơn một chút =))

Xét phương trình hàm: $$f(xf(y)-y)+f(xy-x)+f(x+y)=2xy(1)$$

Thay $x=y=0$ vào (1) ta được $f(0)=0$

Thay $y=0$ vào (1) ta được $f(-x)+f(x)=0$ nên $f$ là hàm lẻ.

Thay $x=-1,y=\frac{1}{2}$ vào $(1)$, ta được: $f(-f(\frac{1}{2})-\frac{1}{2})=-1$

Đặt $-f(\frac{1}{2})-\frac{1}{2}=a$ thì $f(a)=-1$

Thay $y$ bởi $a$ vào (1), ta được: $f(ax-x)=2ax(2)$

Nếu $a=1$ thì $f(0)=2x$, vô lí nên $a\neq 1$

Thay $x$ bởi $\frac{t}{a-1}$ vào (2), ta được: $f(t)=\frac{2at}{a+1}=ct$ với $c=\frac{2a}{a+1}$

Thay ngược lại vào (1) ta tìm được $c=1$ hoặc $c=-2$

Vậy có $2$ hàm thỏa mãn là $\boxed{f(x)=x,f(x)=-2x}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 01-08-2022 - 18:40

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#18 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:210 ;)

Đã gửi 01-08-2022 - 22:43

Bài 3. Tìm tất cả các hàm $f:\;\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn

$$\forall_{\left ( x, y \right )\in\mathbb{R}^{2}}\;f\left ( 2f\left ( xy \right )+ xf\left ( y \right )+ f\left ( x \right ) \right )= 3yf\left ( x \right )+ x$

Bài này căng quá ạ, anh có lời giải hay nguồn sưu tập có thể gửi cho tụi e tham khảo được k ạ :>



#19 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 03-08-2022 - 08:51

Bài 3. Tìm tất cả các hàm $f:\;\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn

$$\forall_{\left ( x, y \right )\in\mathbb{R}^{2}}\;f\left ( 2f\left ( xy \right )+ xf\left ( y \right )+ f\left ( x \right ) \right )= 3yf\left ( x \right )+ x$$

Ý tưởng bài này theo anh dựa trên tính đối xứng.

Bằng cách đưa $x= 1, y= f\left ( 1 \right )$ và $y= 1, x= f\left ( 1 \right )$ vào giả thiết, nhận thấy $f\left ( 1 \right )= 1$ đồng thời

$$f\left ( 3y+ 1 \right )= 3f\left ( y \right )+ 1\quad{\it And}\quad f\left ( 3f\left ( x \right )+ x \right )= 3f\left ( x \right )+ x$$

Cho nên $f\left ( x \right )= x$ là lời giải duy nhất của bài toán.



#20 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 03-08-2022 - 09:00

$f\left ( 1 \right )= 1$ đồng thời

$$f\left ( 3y+ 1 \right )= 3f\left ( y \right )+ 1\quad{\it And}\quad f\left ( 3f\left ( x \right )+ x \right )= 3f\left ( x \right )+ x$$

Bài này mình cũng làm được tới đây, sau đó thì như thế nào nhỉ?


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh