Bài 4. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f( y) -f( x) =f( y) f\left(\frac{x}{x-y}\right) ,\forall x,y\in \mathbb{R} ,x\neq y$.
Xét 2 trường hợp:
$\bullet$ Tồn tại $y_0\neq 0$ sao cho $f(y_0) = 0$ thì thay $y = y_0$ vào phương trình hàm đã cho ta có $f(x) = 0,\forall x \neq y_0$.
Ta được hàm thoả mãn $f(x) = 0,\forall x\neq 0$.
$\bullet$ $f(y)\neq 0,\forall y\neq 0$: Thay $y$ bởi $xy$ vào phương trình hàm đã cho, ta có:
$$f(xy) - f(x) = f(xy) f\left (\frac{1}{1-y}\right),\forall x,y \neq 0; y\neq 1$$
\begin{equation} \Leftrightarrow f(xy) = \dfrac{f(x)}{1 - f\left (\dfrac{1}{1-y}\right)},\forall x,y \neq 0; y\neq 1\end{equation}
Thay $x=1$ vào (1) ta có $$f(y) = \frac{f(1)}{1 - f\left (\dfrac{1}{1-y}\right)},\forall y\neq 1$$
$$\Leftrightarrow f\left (\dfrac{1}{1-y}\right) = 1 - \frac{f(1)}{f(y)},\forall y\neq 1 \text{ (*)}$$
Thay lại vào (1) ta có \begin{equation} f(xy) = \frac{f(x)f(y)}{f(1)},\forall x,y\neq 0;y\neq 1\end{equation}
Rõ ràng ở (2) thay $y=1$ vẫn cho ra đẳng thức đúng nên ta có thể bỏ điều kiện $y\neq 1$ đi.
Thay $y$ bởi $\frac{1}{x}$ vào (2) ta có $$f(x) . f\left(\frac{1}{x}\right) = f(1)^2,\forall x\neq 0$$
Kết hợp với (*): $$1-\frac{f(1)}{f(y)} = \frac{f(1)^2}{f(1-y)},\forall y\neq 0;y\neq 1$$
Ở đây thay $y$ bởi $1-y$ thì lại có 2 trường hợp con:
Nếu $f(1) \neq 1$ thì $f(y) = f(1-y),\forall y\neq 0;y\neq 1$.
Từ đó $f(y) = f(1) + f(1)^2,\forall y\neq 0;y\neq 1$. Do $f(1)\neq 0$ nên dễ thấy hàm này không thoả mãn.
Nếu $f(1) = 1$ thì $\frac{1}{f(y)} + \frac{1}{f(1-y)} = 1,\forall y\neq 0;y\neq 1$.
Từ (2) ta có $f$ là hàm nhân tính.
Kết hợp giả thiết ta có $$f(y) - f(x) = f\left ( \frac{xy}{x-y} \right ),\forall x\neq y$$
Rõ ràng nếu xét hàm số $g:\mathbb R\to\mathbb R$ thoả mãn $g(x) = \frac{1}{f(x)},\forall x\neq 0$ và $g(0) = 0$ thì $g$ là hàm nhân tính và:
$$g\left(\frac{x-y}{xy}\right) = \frac{1}{g(y)} - \frac{1}{g(x)},\forall x,y\neq 0$$
Mà $g\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{g(x)},\forall x\neq 0$ nên $g$ là hàm cộng tính.
Suy ra $g$ vừa là hàm cộng tính, vừa là hàm nhân tính.
Dẫn đến $g(x) = x,\forall x\in\mathbb R$.
Do đó $f(x) = x,\forall x\neq 0$.
Tóm lại ta có hai hàm thoả mãn là $f(x) = 0 ,\forall x\neq 0$ và $f(x) = x,\forall x\neq 0$.
P/s: Theo mình nghĩ thì bài nào đã làm rồi thì nên tô đỏ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 22-07-2022 - 16:59