Bài 12: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ thoả mãn $$f(x).f(y+f(x)) = f(xy+1),\forall x,y\in\mathbb R^+$$
Câu này sử dụng kĩ thuật hai biến của ông Nguyễn Tài Chung, hồi mới đọc cũng thấy lạ.
Trước tiên ta chứng minh $f$ là hàm không tăng.
Thật vậy, giả sử tồn tại $a > b > 0$ mà $f(a) > f(b)$.
Nhận thấy hệ phương trình $$\begin{cases}f(a) + x = f(b) + y \\ xa = yb \end{cases}$$
có nghiệm $(x_0,y_0) = \left(\frac{b(f(a) - f(b))}{a-b},\frac{a(f(a)-f(b))}{a-b}\right)$ dương.
Do đó lần lượt thay $x = a; y = x_0$ và $x = b; y = y_0$ vào phương trình hàm đã cho ta có $f(a) = f(b)$, mâu thuẫn.
Dẫn đến $f$ là hàm không tăng.
Với $x>1$, thay $y = \frac{x-1}{x}$ ta có: $f\left(\frac{x-1}{x}+f(x)\right) = 1,\forall x > 1$.
Đặt $g(x) = \frac{x-1}{x} + f(x),\forall x > 1$.
Thế thì $f(g(x)) = 1,\forall x > 1$.
Do đó ở phương trình hàm ban đầu, thay $x$ bởi $g(x)$ ta có: $f(y.g(x) +1) = f(y+1),\forall x> 1,y > 0$.
Vì $f$ là hàm không tăng nên ta có nhận xét: Với mọi $a,b > 0$ mà $f(a) = f(b)$ thì $f(a) = f(c),\forall c\in [a,b]$.
$\bullet$ Nếu tồn tại $x_0 > 1$ sao cho $a = g(x_0) >1$ thì bằng quy nạp ta có $f(y . a^n + 1) = f(y+1),\forall y > 0$.
Cho $n\to \infty$ ta có $f$ là hàm hằng trên $(1; +\infty)$. Thay lại phương trình hàm đã cho dễ dàng suy ra được $f(x) = 1,\forall x\in\mathbb R^+$.
$\bullet$ Nếu tồn tại $x_0 > 1$ sao cho $b = g(x_0) < 1$ thì $f(y + 1) = f\left(\frac{y}{b} + 1\right),\forall y > 0$. Lập luận tương tự ta có $f(x) = 1,\forall x\in\mathbb R^+$.
$\bullet$ Nếu $g(x) = 1,\forall x>1$ thì $f(x) = \frac{1}{x},\forall x>1$.
Thay lại phương trình hàm đã cho dễ dàng nhận thấy $f(x) = \frac{1}{x},\forall x\in\mathbb R^+$.
Tóm lại, $f(x) = 1,\forall x\in\mathbb R^+$ và $f(x) = \frac{1}{x},\forall x \in\mathbb R^+$ là nghiệm của phương trình hàm đã cho.