Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] PTH $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 2022

phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 34 trả lời

#21 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 1555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 03-08-2022 - 09:23

Em nghĩ chúng ta nên phản chứng dựa vào

$$\begin{CD}f\left ( x \right )= x @>{{\it into}\;{\it it}}>> f\left ( 3y+ 1 \right )= 3f\left ( y \right )+ 1\\ @AA{{\it as}\;{\it hypothesis}}A @VV{{\it after}\;{\it substituted}}V\\ f\left ( 3f\left ( x \right )+ x \right )= 3f\left ( x \right )+ x @<{\it And}<< f\left ( 3f\left ( y \right )+ 1 \right )= 3f\left ( y \right )+ 1\end{CD}$$

Khá giống với việc chứng minh $f\left ( f\left ( f\left ( x \right ) \right ) \right )= x\Rightarrow f\left ( x \right )= x$ như ở đây.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 03-08-2022 - 09:34


#22 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 03-08-2022 - 09:50

Em nghĩ chúng ta nên phản chứng dựa vào

$$\begin{CD}f\left ( x \right )= x @>{{\it into}\;{\it it}}>> f\left ( 3y+ 1 \right )= 3f\left ( y \right )+ 1\\ @AA{{\it as}\;{\it hypothesis}}A @VV{{\it after}\;{\it substituted}}V\\ f\left ( 3f\left ( x \right )+ x \right )= 3f\left ( x \right )+ x @<{\it And}<< f\left ( 3f\left ( y \right )+ 1 \right )= 3f\left ( y \right )+ 1\end{CD}$$

Khá giống với việc chứng minh $f\left ( f\left ( f\left ( x \right ) \right ) \right )= x\Rightarrow f\left ( x \right )= x$ như ở đây.

Cái link em đưa có giả thiết $f$ tăng ngặt còn bài của em thì chưa có.

Ngoài ra sao có thể suy ra $f(3f(y)+1)=3f(y)+1$ được nhỉ? Nếu có cái này thì xong bài rồi, vì hàm đã cho có tính chất $f(f(x))=x$ sau khi có được $f(0)=0$.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#23 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 411 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 03-08-2022 - 18:43

Bài 3 thật sự quá khó, để đổi không khí mình xin góp một số bài khác.

Bài 11: (Bài T11/539) Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R^+\to\mathbb R^+$ thoả mãn $$f(x + yf(x)) = f(x) + xf(y),\forall x,y\in\mathbb R^+$$

Bài 12: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ thoả mãn $$f(x).f(y+f(x)) = f(xy+1),\forall x,y\in\mathbb R^+$$



#24 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 04-08-2022 - 08:43

Bài 3. Tìm tất cả các hàm $f:\;\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn

$$\forall_{\left ( x, y \right )\in\mathbb{R}^{2}}\;f\left ( 2f\left ( xy \right )+ xf\left ( y \right )+ f\left ( x \right ) \right )= 3yf\left ( x \right )+ x$$

Bạn nào giúp mình chứng minh $f(1)=1$ với, ban đầu mình có làm nhưng giờ xem lại thì bị sai mất  :wacko: . Sau đây là lời giải khi đã có $f(1)=1$.

 

Dễ thấy $f$ không thể là hàm hằng, thay $x:=0$ vào giả thiết thu được $f(0)=0$. Thay $y:=0$ vào giả thiết có được $f(f(x))=x$, do đó ta viết lại giả thiết như sau

$$f(3yf(x)+x)=2f(xy)+xf(y)+f(x).\tag{$\ast$}$$

Với $f(1)=1$ lần lượt thay $y:=1$ và $x:=1$ vào $(\ast)$ ta có

$$\begin{align}f(3f(x)+x)&=3f(x)+x\\ f(3y+1)&=3f(y)+1 \end{align}$$

Đặt tập hợp điểm bất động là $\mathcal{U}=\Big\{u\in \mathbb{R}:f(u)=u\Big\}$. Từ đây ta kí hiệu $u$ là phần tử bất kì của $\mathcal{U}$.

$\bullet$ Chứng minh $\frac{u}{3}\in \mathcal{U}$ với mọi $u\in\mathcal{U}$.

$\bullet$ Chứng minh

\begin{equation}f(3x)=4x-3f\left(\frac{x}{3}\right),\quad \forall x\in \mathbb{R}.\end{equation}

Thay $x:=\frac{1}{3}$ vào $(\ast)$ ta có

\begin{equation} f\left(y+\frac{1}{3}\right)=2f\left(\frac{y}{3}\right)+\frac{f(y)}{3}+\frac{1}{3}\end{equation}

Thay $x:=3$ vào $(\ast)$ ta có

$$\begin{align*} f(9y+3)&=2f(3y)+3f(y)+3\\\overset{(3)}{\implies}4(3y+1)-3f\left ( y+\frac{1}{3} \right )&=2f(3y)+3f(y)+3\\\overset{(4)}{\implies}4(3y+1)-3\left ( 2f\left(\frac{y}{3}\right)+\frac{f(y)}{3}+\frac{1}{3} \right )&=2f(3y)+3f(y)+3\end{align*}$$

Tương đương với

$$12y=2\left(3f\left(\frac{y}{3}\right)+f(3y)\right)+4f(y)\overset{(3)}{=}8y+4f(y).$$

Từ đây ta có được $f(y)=y$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 04-08-2022 - 09:11

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#25 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 411 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 04-08-2022 - 11:20

Bài 3. Tìm tất cả các hàm $f:\;\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn

$$\forall_{\left ( x, y \right )\in\mathbb{R}^{2}}\;f\left ( 2f\left ( xy \right )+ xf\left ( y \right )+ f\left ( x \right ) \right )= 3yf\left ( x \right )+ x$$

Chứng minh $f(1) = 1$ như sau:

Thay $x = f(1); y = 1$ vào phương trình hàm đã cho ta có $f(3 + f(1)^2) = 3 + f(1)$.

Tiếp theo, thay $x = 1; y = f(1)$ ta có $f(3 + f(1)) = 3f(1)^2 + 1$.

Từ đó $3f(1)^2 + 1 = f(3 + f(1)) = f(f(3 + f(1)^2)) = 3 + f(1)^2$.

Dẫn đến $f(1) = 1$ hoặc $f(1) = -1$.

Thay $x=1$ ta có $f(3f(y) - 1) = -3y + 1,\forall y\in\mathbb R$

$\Rightarrow f(-3y+1) = 3f(y) - 1,\forall y\in\mathbb R$. (1)

Thay $x=-1$ ta có $f(2f(-y) - f(y) + 1) = 3y - 1,\forall y\in\mathbb R$

$\Rightarrow f(3y - 1) = 2f(-y) - f(y) + 1,\forall y\in\mathbb R$. (2)

Thay $y=1$ ta có $f(3f(x) -x)  =3f(x) + x,\forall x\in\mathbb R$. (3)

Thay $y=-1$ ta có $f(2f(-x) + f(x)  + x) = x-3f(x),\forall x\in\mathbb R$. (4)

Ở (1) thay $y=1$ ta có $f(-2) = -4$.

Ở (2) thay $y=1$ ta có $f(2) = 4$.

Ở (4) thay $x = 2$ ta có $f(2f(-2) + f(2) + 2) = 2 - 3f(2)$

$\Rightarrow f(-8 + 4 + 2) = 2 - 3 . 4$

$\Rightarrow f(-2) = -10$, vô lí.



#26 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:210 ;)

Đã gửi 05-08-2022 - 21:34

Bài 13. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f\left( xf( x) +y^{2}\right) +2xf( y) =f( x+y)^{2} ,\forall x,y\in \mathbb{R}$.



#27 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 411 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 06-08-2022 - 09:50

Bài 13. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f\left( xf( x) +y^{2}\right) +2xf( y) =f( x+y)^{2} ,\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Thay $x = 0$ vào phương trình hàm đã cho ta có $f(y^2) = f(y)^2,\forall y\in\mathbb N^*$.

Giả sử tồn tại $a\neq 0$ mà $f(a) = 0$.

Khi đó thay $x = a$ ta có $f(y^2) + 2af(y) = f(a+y)^2,\forall y\in\mathbb R$.

Do $f(-a)^2 = f(a^2) = f(a)^2 = 0$ nên tương tự ta có $f(y^2) - 2af(y) = f(y-a)^2,\forall y\in\mathbb R$.

Ở phương trình hàm trên, thay $y$ bởi $-y$ ta có $f(y^2) - 2af(-y) = f(-y - a)^2,\forall y\in\mathbb R$.

Dẫn đến $2af(y) = -2af(-y),\forall y\in\mathbb R$, hay $f$ là hàm lẻ.

Do đó $f(0) = 0$.

Thay $x$ bởi $-x$ vào phương trình hàm ban đầu ta có: $f(-xf(-x) + y^2) - 2xf(y) = f(y - x)^2,\forall x,y\in\mathbb R$.

Do $-xf(-x)= xf(x)$ nên kết hợp với phương trình hàm ban đầu ta có $4xf(y) = f(x+y)^2 - f(x-y)^2,\forall x,y\in\mathbb R$.

Hoán vị vai trò của $x,y$ ta có $4xf(y) = 4yf(x),\forall x,y\in\mathbb R$.

Do đó ở đây thay $x = a$ ta có $f(y) = 0,\forall y\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy thoả mãn.

Trường hợp ngược lại, nếu $f(x)\neq 0,\forall x\in\mathbb R\setminus\{0\}$ thì thay $y =\frac{f(x) - x}{2}$ vào phương trình hàm đã cho ta có: $f\left(\frac{f(x) - x}{2}\right) = 0,\forall x \in\mathbb R\setminus\{0\}$.

Suy ra $f(x) = x,\forall x\neq 0$.

Thay lại phương trình hàm đã cho ta được $f(0) = 0$.

Vậy phương trình hàm đã cho có 2 nghiệm $f(x) = x,\forall x\in\mathbb R$ và $f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R$.



#28 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:210 ;)

Đã gửi 07-08-2022 - 04:47

Bài 14. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f\left( y+x^{2} -f( y)\right) =f( x)^{2} +f( y) -y,\forall x,y\in \mathbb{R}$



#29 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 411 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 07-08-2022 - 10:17

Bài 12: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ thoả mãn $$f(x).f(y+f(x)) = f(xy+1),\forall x,y\in\mathbb R^+$$

Câu này sử dụng kĩ thuật hai biến của ông Nguyễn Tài Chung, hồi mới đọc cũng thấy lạ.

Trước tiên ta chứng minh $f$ là hàm không tăng.

Thật vậy, giả sử tồn tại $a > b > 0$ mà $f(a) > f(b)$.

Nhận thấy hệ phương trình $$\begin{cases}f(a) + x = f(b) + y \\ xa = yb \end{cases}$$

có nghiệm $(x_0,y_0) = \left(\frac{b(f(a) - f(b))}{a-b},\frac{a(f(a)-f(b))}{a-b}\right)$ dương.

Do đó lần lượt thay $x = a; y = x_0$ và $x = b; y = y_0$ vào phương trình hàm đã cho ta có $f(a) = f(b)$, mâu thuẫn.

Dẫn đến $f$ là hàm không tăng.

Với $x>1$, thay $y = \frac{x-1}{x}$ ta có: $f\left(\frac{x-1}{x}+f(x)\right) = 1,\forall x > 1$.

Đặt $g(x) = \frac{x-1}{x} + f(x),\forall x > 1$. 

Thế thì $f(g(x)) = 1,\forall x > 1$.

Do đó ở phương trình hàm ban đầu, thay $x$ bởi $g(x)$ ta có: $f(y.g(x) +1)  = f(y+1),\forall x> 1,y > 0$.

Vì $f$ là hàm không tăng nên ta có nhận xét: Với mọi $a,b > 0$ mà $f(a) = f(b)$ thì $f(a) = f(c),\forall c\in [a,b]$.

$\bullet$ Nếu tồn tại $x_0 > 1$ sao cho $a = g(x_0) >1$ thì bằng quy nạp ta có $f(y . a^n + 1) = f(y+1),\forall y > 0$.

Cho $n\to \infty$ ta có $f$ là hàm hằng trên $(1; +\infty)$. Thay lại phương trình hàm đã cho dễ dàng suy ra được $f(x) = 1,\forall x\in\mathbb R^+$.

$\bullet$ Nếu tồn tại $x_0 > 1$ sao cho $b = g(x_0) < 1$ thì $f(y + 1) = f\left(\frac{y}{b} + 1\right),\forall y > 0$. Lập luận tương tự ta có $f(x) = 1,\forall x\in\mathbb R^+$.

$\bullet$ Nếu $g(x) = 1,\forall x>1$ thì $f(x) = \frac{1}{x},\forall x>1$.

Thay lại phương trình hàm đã cho dễ dàng nhận thấy $f(x) = \frac{1}{x},\forall x\in\mathbb R^+$.

Tóm lại, $f(x)  = 1,\forall x\in\mathbb R^+$ và $f(x) = \frac{1}{x},\forall x \in\mathbb R^+$ là nghiệm của phương trình hàm đã cho.



#30 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1702 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A2 K39 THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 07-08-2022 - 21:25

$\textbf{Bài toán 14.}$ Tìm tất cả các hàm số $f$: $\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn hai điều kiện

  1. $2f (x) + 2f (y) \le f (x + y)$
  2. $(x + y)[y f (x) + x f (y)] \ge x y f (x + y)$

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#31 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:210 ;)

Đã gửi 09-08-2022 - 17:08

mới thấy b3 chiều nay trên aops có người mới giải... https://artofproblem...tional_equation



#32 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1702 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A2 K39 THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 12-08-2022 - 08:00

$\textbf{Bài toán 15.}$ Tìm tất cả các hàm số $f$: $\mathbb{R}/\left \{ 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x)^2-f(y)f(z)=x(x+y+z)(f(x)+f(y)+f(z))$$ với mọi số thực $x,y,z$ và $xyz=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#33 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 1555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 15-08-2022 - 10:10

Bài 16. Tìm hàm $f:\quad\mathbb{R}_{\!+}^{3}\rightarrow\mathbb{R}_{\!+}$ thỏa mãn

$$f\left ( a, b, c \right )^{2}+ f\left ( b, c, a \right )^{2}+ f\left ( c, a, b \right )^{2}+ 3\cdot f\left ( a, b, c \right )f\left ( b, c, a \right )f\left ( c, a, b \right )= 6$$

 

Câu hỏi phụ. Với $f$ là thuần nhất, bằng cách nào ta tìm được $f\left ( a, b, c \right )= \frac{\left ( 3- \sqrt{3} \right )a+ \left ( 3+ \sqrt{3} \right )b}{\sqrt{4b+ c+ a}\cdot\sqrt{4a+ b+ c}}{\it ?}$



#34 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:210 ;)

Đã gửi 15-08-2022 - 16:18

Bài 17.  Cho $\displaystyle f,g,h\in \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f( xy+g( x)) =xf( y) +h( x) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$. Chứng minh $\displaystyle f$ là hàm tuyến tính. 

Một bổ đề hay để giải các bài PTH trên R 



#35 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1702 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A2 K39 THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi Hôm qua, 06:26

$\textbf{Bài toán 18.}$ Tìm tất cả các hàm số $f$: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x+f(y))=f(x+y^{2018})+f(y^{2018}-f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R}$$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh