Chủ đề này có 7 trả lời

[hxthanh]

Lọ mọ với https://www.wolframalpha.com tôi tình cờ phát hiện ra một hàm số khá thú vị
$$\begin{equation}f(x)=\left(\lfloor x\rfloor+\frac{1}{2}\right)\ln x -\ln(\lfloor x\rfloor!)\end{equation}$$
https://www.wolframa...r(x)!), {x,1,5}
Nhìn vào đồ thị của hàm $f(x)$, ta có thể thấy nó khá là “thẳng”. Nó thẳng một cách bất thường!
Tôi thử so sánh với đồ thị của $y=x$ thì thấy nó “hơi bị” song song.
Bằng cách thử vẽ nhiều lần, tôi thấy rằng:
$$\begin{equation}g(x)=x-\alpha;\,\,\,\,\,\, \alpha\approx 0.91894\end{equation}$$
Ở đây $\alpha$ là một số thực nào đó gần bằng $0.91894$ tìm ra từ thực nghiệm, cụ thể $\alpha$ bằng bao nhiêu thì chịu
…
Bây giờ mà chứng minh được $\lim_{x\to\infty} f(x)-g(x)=0$ hay $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$
rồi tìm ra chính xác giá trị của $\alpha$ thì quả là tuyệt vời!!
Hãy nhìn hình dưới xem

Bạn thấy không? Đồ thị của $f(x)$ và $g(x)$ gần như trùng nhau hoàn toàn!
Trùng nhau từ vạch xuất phát
Có ai đó giúp tôi chứng minh hay bác bỏ nhận định trên được không?

[Hoang72]

Em thấy nếu cho miền của $x$ nhỏ hơn, như trong link anh gửi thì đồ thị có vẻ không thẳng nữa ạ

[hxthanh]

hinh.png
Em thấy nếu cho miền của $x$ nhỏ hơn, như trong link anh gửi thì đồ thị có vẻ không thẳng nữa ạ

Thì nó vốn dĩ có phải đường thẳng đâu
Nhưng nó xấp xỉ khá tốt mà!
Cũng vì nó xấp xỉ tốt nên từ đó ta có phương pháp tính xấp xỉ logarith tự nhiên của các số tự nhiên đơn giản:
$\ln n\approx \frac{2n-2\alpha +2\ln((n-1)!)}{2n-1}$
Chẳng hạn:
$\ln 2\approx \frac{4-2(0,91894)}{3}\approx 0,7207.$ Giá trị đúng là $\ln 2=0,693147…$
$\ln 3\approx \frac{6-2(0,91894)+2\ln 2}{5}\approx 1,1097.$ (lấy giá trị đúng của $\ln 2$) Giá trị đúng của $\ln 3=1,1089612…$
$\ln x\approx \frac{2x-2\alpha+2 \ln(\lfloor x\rfloor!)}{2\lfloor x\rfloor+1}$
Chẳng hạn:
$\ln (2,5)\approx \frac{5-2(0,91894)+2\ln 2}{5}\approx 0,9097.$ Giá trị đúng là $\ln(2,5)=0,91629…$
…
Khá là ổn đấy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-07-2022 - 18:55

[hxthanh]

Đây là sự khác biệt về đồ thị khi được “zoom” 100.000 lần

Zoom 100.000x

Có vẻ như $\alpha =0.91902…$ đáng tin cậy hơn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-07-2022 - 20:13

[perfectstrong]

Chứng minh $f$ có tiệm cận xiên có vẻ không khó

Ta sẽ khảo sát \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\]

Vì dính đến phần nguyên nên để tiện tính toán, ta sẽ đặt $x = N + \varepsilon \left( {\varepsilon  \in \left[ {0;1} \right[} \right)$. Hàm $f$ sẽ viết thành:

\[f\left( x \right) = \left( {N + \frac{1}{2}} \right)\ln \left( {N + \varepsilon } \right) - \ln N!\]

Ta kẹp $f$ như sau:

\[\begin{array}{c}
{f_L}\left( N \right) < f\left( x \right) < {f_U}\left( N \right)\\
{f_U}\left( N \right) = \left( {N + 1} \right)\ln \left( {N + 1} \right) - \ln N!\\
{f_L}\left( N \right) = N\ln N - \ln N!
\end{array}\]

Tiếp theo, $N!$ làm ta nhớ đến xấp xỉ Stirling https://en.wikipedia...s_approximation

\[N! \sim \sqrt {2\pi N} {\left( {\frac{N}{e}} \right)^N} \Rightarrow \ln N! \sim N\ln N - N + \frac{1}{2}\ln N + \frac{{\ln 2\pi }}{2}\]

Thế vào với một chút biến đổi, ta sẽ có:

\[\begin{array}{c}
{f_U}\left( N \right) = \left( {N + 1} \right)\ln \left( {N + 1} \right) - \ln \left( {N + 1} \right)! + \ln \left( {N + 1} \right) \sim N + \frac{{\ln \left( {N + 1} \right)}}{2} + 1 - \frac{{\ln 2\pi }}{2}\\
{f_L}\left( N \right) \sim N - \frac{1}{2}\ln N - \frac{{\ln 2\pi }}{2}\\
\frac{{f\left( x \right)}}{x} < \frac{{{f_U}\left( N \right)}}{N} \sim 1 + \frac{{\ln \left( {N + 1} \right)}}{{2N}} + \frac{{1 - \frac{{\ln 2\pi }}{2}}}{N} \to 1\\
\frac{{f\left( x \right)}}{x} > \frac{{{f_L}\left( N \right)}}{{N + 1}} \sim 1 + \frac{{\ln \left( {N + 1} \right)}}{{N + 1}} - \frac{{1 + \frac{{\ln 2\pi }}{2}}}{{N + 1}} \to 1
\end{array}\]

Vậy $\frac{{f\left( x \right)}}{x} \to 1$

[hxthanh]

Chứng minh $f$ có tiệm cận xiên có vẻ không khó
Ta sẽ khảo sát \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\]
Vì dính đến phần nguyên nên để tiện tính toán, ta sẽ đặt $x = N + \varepsilon \left( {\varepsilon  \in \left[ {0;1} \right[} \right)$. Hàm $f$ sẽ viết thành:
\[f\left( x \right) = \left( {N + \frac{1}{2}} \right)\ln \left( {N + \varepsilon } \right) - \ln N!\]
Ta kẹp $f$ như sau:
\[\begin{array}{c}
{f_L}\left( N \right) < f\left( x \right) < {f_U}\left( N \right)\\
{f_U}\left( N \right) = \left( {N + 1} \right)\ln \left( {N + 1} \right) - \ln N!\\
{f_L}\left( N \right) = N\ln N - \ln N!
\end{array}\]
Tiếp theo, $N!$ làm ta nhớ đến xấp xỉ Stirling https://en.wikipedia...s_approximation
\[N! \sim \sqrt {2\pi N} {\left( {\frac{N}{e}} \right)^N} \Rightarrow \ln N! \sim N\ln N - N + \frac{1}{2}\ln N + \frac{{\ln 2\pi }}{2}\]
…
Vậy $\frac{{f\left( x \right)}}{x} \to 1$

Tuyệt quá, cảm ơn Hân nhé!
Còn nữa cái số $\frac{\ln 2\pi}{2}=0.918938…$
Có lẽ nào là $\alpha$

[perfectstrong]

Tuyệt quá, cảm ơn Hân nhé!
Còn nữa cái số $\frac{\ln 2\pi}{2}=0.918938…$
Có lẽ nào là $\alpha$

Thực ra cái hàm ban đầu của thầy Thanh đã tương đương với công thức Stirling rồi ạ

\[\begin{array}{c}
N! \sim \sqrt {2\pi N} {\left( {\frac{N}{e}} \right)^N}\\
 \Rightarrow \ln N! \sim N\ln N - N + \frac{1}{2}\ln N + \frac{{\ln 2\pi }}{2} = \left( {N + \frac{1}{2}} \right)\ln N - N + \frac{{\ln 2\pi }}{2}\\
 \Rightarrow \left( {N + \frac{1}{2}} \right)\ln N - \ln N! \sim N - \frac{{\ln 2\pi }}{2}
\end{array}\]

Mà chú ý là với $N$ đủ lớn thì $\ln \left( {N + \varepsilon } \right) \sim \ln N$ nên $f$ sẽ xấp xỉ vế trái, dẫn tới $f(x) \sim N - \frac{{\ln 2\pi }}{2} \approx x - \frac{{\ln 2\pi }}{2}$.

[hxthanh]

Thực ra cái hàm ban đầu của thầy Thanh đã tương đương với công thức Stirling rồi ạ
\[\begin{array}{c}
N! \sim \sqrt {2\pi N} {\left( {\frac{N}{e}} \right)^N}\\
 \Rightarrow \ln N! \sim N\ln N - N + \frac{1}{2}\ln N + \frac{{\ln 2\pi }}{2} = \left( {N + \frac{1}{2}} \right)\ln N - N + \frac{{\ln 2\pi }}{2}\\
 \Rightarrow \left( {N + \frac{1}{2}} \right)\ln N - \ln N! \sim N - \frac{{\ln 2\pi }}{2}
\end{array}\]
Mà chú ý là với $N$ đủ lớn thì $\ln \left( {N + \varepsilon } \right) \sim \ln N$ nên $f$ sẽ xấp xỉ vế trái, dẫn tới $f(x) \sim N - \frac{{\ln 2\pi }}{2} \approx x - \frac{{\ln 2\pi }}{2}$.

Thực ra cái hàm ban đầu của tôi không xuất phát từ công thức xấp xỉ Stirling đâu! Một sự trùng hợp thật “trớ trêu”! Hàm đó nó xuất phát từ… việc tính tích phân ở bài này!
https://diendantoanh...x…/#entry734049
$$\boxed{\,\,\,\,\int_1^x \sum_{k=1}^{\lfloor t\rfloor}\Big(f(t)-f(k)\Big)dt=\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\Big(F(x)-F(k)-(x-k)f(k)\Big) \,\,\,\,} $$
Khi thay $f(x)=\frac{1}{x}$ và $F(x)=\ln x$
Thêm một vài biến đổi ở kết quả, khảo sát, v.v… mới ra cái hàm đó!
Thật là ảo mà