Chủ đề này có 1 trả lời

[Sangnguyen3]

Cho $P(x),Q(x),R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thỏa mãn 
$P(x^{2}-x)+x.Q(x^{2}-x)=(x^{2}-4).R(x) [\forall x\in R]$

$a)$ Chứng minh phương trình $Q(x)=R(x-3)$ có ít nhất 2 nghiệm thực phân biệt.

$b)$ GIả sử rằng tổng bậc của $P(x),Q(x),R(x)$ là 5 và hệ số cao nhất của $R(x)$ là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=P^{2}(0)+8Q^{2}(3)$

[nhungvienkimcuong]

Cho $P(x),Q(x),R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thỏa mãn 
$P(x^{2}-x)+x.Q(x^{2}-x)=(x^{2}-4).R(x) [\forall x\in R]$

$a)$ Chứng minh phương trình $Q(x)=R(x-3)$ có ít nhất 2 nghiệm thực phân biệt.

$b)$ GIả sử rằng tổng bậc của $P(x),Q(x),R(x)$ là 5 và hệ số cao nhất của $R(x)$ là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=P^{2}(0)+8Q^{2}(3)$

Sau đây là ý tưởng

a) Lần lượt thay $x=\pm 2$ thu được 

$$P(2)+2Q(2)=0\quad \text{và}\quad P(6)-2Q(6)=0.$$

Phương trình $x^2-x=2$ bên cạnh nghiệm $2$ thì còn có nghiệm $-1$, do đó thay $x=-1$ vào ta sẽ thu được $Q(2)=R(-1)$.

Hoàn toàn tương tự thu được $Q(6)=R(3)$.

 

b) Sử dụng hệ thức đầu bài và giả thiết ở ý này tìm được $\deg(P)=2,\ \deg(Q)=1,\ \deg(R)=2$. Đặt $Q(x)=ax+b$, ta có

$$R(x-3)-Q(x)=(x-2)(x-6)\implies R(x)=(x+1)(x-3)+a(x+3)+b.$$

Phần còn lại thì biểu thức $M$ sẽ liên quan đến $a,b$. Từ đây tìm GTNN chắc không khó