Chủ đề này có 1 trả lời

[KietLW9]

$\textbf{Bài toán :}$ Cho tứ giác lồi $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi  $I_1,I_2,I_3$ và $I_4$ tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $DAB,ABC,BCD$ và $CDA$. Gọi $O_1,O_2,O_3$ và $O_4$ tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác  $AI_2I_4$ ,$BI_1I_3$, $CI_2I_4$ và $DI_1I_3$. 

a) Chứng minh rằng $O_1O_3 \bot AC$ và $O_2O_4 \bot BD$

b) Đường thẳng nối trung điểm của $I_1I_3$ và $I_2I_4$ đi qua $I$

c) Đường nối trung điểm của $O_1O_3$ và $O_2O_4$ đi qua $I$

[DaiphongLT]

Ý $a)$ phải là $O_1O_3//AC$ và $O_2O_4//BD$ chứ nhỉ
Chứng minh $a)$ Gọi $(I_2)$ tiếp xúc với $AC$ tại $G$, ta có $AG=\frac{AD-CD+AC}{2}$
                                $(I_4)$ tiếp xúc với $AC$ tại $G'$, ta có $AG'=\frac{AB-BC+AC}{2}$
Mặt khác $AD+BC=AB+CD$ (định lí Pithot) do đó ta có $AG=AG'$ hay $G\equiv G'$. Do đó $I_2I_4\perp AC\Rightarrow O_1O_3//AC$
Tương tự ta cũng có $O_2O_4//BD$
$b)$ Ta sẽ chứng minh một trường hợp tổng quát hơn: Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(I)$, đường thẳng bất kì $\perp AC$ cắt $IB, ID$ tại $M, N$. Đường thẳng bất kì $\perp BD$ cắt $IA, IC$ tại $P, Q$. Khi đó đường thẳng nối trung điểm của $MN$ và $PQ$ đi qua $I$
Chứng minh: Gọi $(I)$ tiếp xúc với $AB, BC, CA, AD$ tại $X, Y, Z, T$. Ta dễ thấy $AC, BD, XZ, YT$ đồng quy tại $S$
Một bổ đề quen thuộc: $XY, ZT, AC$ đồng quy tại $V$ và $XT, YZ, BD$ đồng quy tại $U$
Do đó theo Brocard ta có được $IV\perp BD$ hay $IV//PQ$
Mặt khác $(AC, SV)= B(AC, SV)= B(XY, SV) = -1$ do đó $IS$ đi qua trung điểm $PQ$, tương tự $IS$ đi qua trung điểm $MN$ hay ta có đpcm
Theo câu $a)$ thì ta đã có $I_2I_4\perp AC$ và $I_1I_3\perp BD$ nên theo bài toán trên thì ta có đpcm                   

$c)$ Chứng minh $A, O_1, I$ thẳng hàng bằng cách chứng minh $AI, AC$ đẳng giác trong $\widehat{I_2AI_4}$. Sau đó chứng minh tương tự như câu $b)$, thay vì yếu tố vuông góc thì đổi lại yếu tố song song                                 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DaiphongLT: 28-07-2022 - 16:33