Chủ đề này có 7 trả lời

[hxthanh]

Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ liên tục, tuần hoàn, thoả mãn tất cả các điều kiện sau:
$$\left\{\begin{align*} f(x)&=f(x+4) \\ f(-x)&=-f(x) \\ \left|f(x)\right|+\left|f(x+1)\right| &=1,\,\, \forall x \\ f(x)&\ne 0,\,\,\forall x\ne 2n;\,\,n\in\mathbb Z\end{align*} \right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 28-07-2022 - 10:01

[nhungvienkimcuong]

Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ liên tục, tuần hoàn, thoả mãn tất cả các điều kiện sau:
$$\left\{\begin{align*} f(x)&=f(x+4) \\ f(-x)&=-f(x) \\ \left|f(x)\right|+\left|f(x+1)\right| &=1,\,\, \forall x\\ f(2n)&=0,\,\,\forall n\in\mathbb Z \end{align*} \right.$$

Em thấy rằng không cần giả thiết thứ tư, vì từ ba cái đầu sẽ suy ra được.

Thật vậy, từ điều kiện thứ hai suy ra $f(0)=0$. Do đó

$$|f(1)|=1\implies f(2)=0\implies |f(3)|=1\implies f(4)=0\implies \dots$$

Vậy ta có được $f(2n)=0$ với mọi $n\in \mathbb{N}$, thêm điều kiện hàm $f$ lẻ nên $f(2n)=0$ với mọi $n\in \mathbb{Z}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-07-2022 - 08:05

[hxthanh]

Em thấy rằng không cần giả thiết thứ tư, vì từ ba cái đầu sẽ suy ra được.
Thật vậy, từ điều kiện thứ hai suy ra $f(0)=0$. Do đó
$$|f(1)|=1\implies f(2)=0\implies |f(3)|=1\implies f(4)=0\implies \dots$$
Vậy ta có được $f(2n)=0$ với mọi $n\in \mathbb{N}$, thêm điều kiện hàm $f$ lẻ nên $f(2n)=0$ với mọi $n\in \mathbb{Z}$.

Em nói đúng, tuy nhiên bài toán ở đây ta cần tìm hàm liên tục mà?!
P/s: Đã sửa lại đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 28-07-2022 - 09:02

[hxthanh]

Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ liên tục, tuần hoàn, thoả mãn tất cả các điều kiện sau:
$$\left\{\begin{align*} f(x)&=f(x+4) \\ f(-x)&=-f(x) \\ \left|f(x)\right|+\left|f(x+1)\right| &=1,\,\, \forall x \\ f(x)&\ne 0,\,\,\forall x\ne 2n;\,\,n\in\mathbb Z\end{align*} \right.$$

Đại thể mình muốn nghiệm là một trong hai hàm có đồ thị như sau, không biết với 4 dữ kiện trên đã đủ chưa

[nhungvienkimcuong]

Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ liên tục, tuần hoàn, thoả mãn tất cả các điều kiện sau:
$$\left\{\begin{align*} f(x)&=f(x+4) \\ f(-x)&=-f(x) \\ \left|f(x)\right|+\left|f(x+1)\right| &=1,\,\, \forall x \\ f(x)&\ne 0,\,\,\forall x\ne 2n;\,\,n\in\mathbb Z\end{align*} \right.$$

Nếu thầy muốn thu được hàm số như trên thì vẫn chưa đủ giả thiết, vì ta vẫn có thể xây dựng hàm $f$ khả thoải mái với các điều kiện như này.

 

Đơn cử như sau, với giả thiết đề cho thì ta thấy rằng chỉ cần quan tâm với $x\in [0,4)$. Xét một hàm liên tục $g\colon [0,1]\to [-1,1]$ bất kì thỏa mãn $g(0)=0,g(1)\in\{-1,1\}$ và $g(x)\notin \{-1,0,1\}$ với mọi $x\in (0,1)$. Tiếp theo ta xét hàm $f_1\colon [0,2]\to [-1,1]$ như sau

$$f_1(x)=\begin{cases} g(x) &, 0\le x\le 1\\ g(1)-g(x-1)&, 1<x\le 2\end{cases}$$

Khi đó các hàm số $f^*,f^{**}\colon [0,4]\to [-1,1]$ được xác định như sau

$$f^*(x)=\begin{cases}f_1(x)&, 0\le x\le 2\\ f_1(x-2)&, 2<x\le 4 \end{cases},\quad f^{**}(x)=\begin{cases}f_1(x)&, 0\le x\le 2\\ -f_1(x-2)&, 2<x\le 4 \end{cases}$$

đều thỏa mãn điều kiện đề cho.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-07-2022 - 16:02

[hxthanh]

…Đơn cử như sau, với giả thiết đề cho thì ta thấy rằng chỉ cần quan tâm với $x\in [0,4)$. Xét một hàm liên tục $g\colon [0,1]\to [0,1]$ bất kì thỏa mãn $g(0)=0,g(1)\in\{-1,1\}$ và $g(x)\notin \{-1,0,1\}$ với mọi $x\in (0,1)$. Tiếp theo ta xét hàm $f_1\colon [0,2]\to [0,1]$ như sau
$$f_1(x)=\begin{cases} g(x) &, 0\le x\le 1\\ g(1)-g(x-1)&, 1<x\le 2\end{cases}$$
Khi đó các hàm số $f^*,f^{**}\colon [0,4]\to [0,1]$ được xác định như sau
$$f^*(x)=\begin{cases}f_1(x)&, 0\le x\le 2\\ f_1(x-2)&, 2<x\le 4 \end{cases},\quad f^{**}(x)=\begin{cases}f_1(x)&, 0\le x\le 2\\ -f_1(x-2)&, 2<x\le 4 \end{cases}$$
đều thỏa mãn điều kiện đề cho.

Có vẻ như chưa thoả …
Giả sử $0<\alpha, a <1$ và $f^*(\alpha)=a$
Theo đề $|f^*(-\alpha)|+|f^*(1-\alpha)|=1=a+f^*(1-\alpha)$
Cũng theo đề $f^*(\alpha)+f^*(1+\alpha)=1=a+f^*(1+\alpha)$
Suy ra $f^*(1-\alpha)=f^*(1+\alpha)=1-a$
Thế nhưng theo đề
$f^*(1-\alpha)=-f^*(\alpha-1)=-f^*(\alpha-1+4)=-f^*(\alpha+3)$
Theo định nghĩa trên thì $-f^*(\alpha+3)=-f^*(\alpha+3-2)=-f^*(1+\alpha)=a-1$
Suy ra $a-1=0$ vô lý!
Vậy hàm $f^*(x)$ xác định như của em không thoả!
Tương tự với $f^{**}(x)$ cũng không thoả nốt

[nhungvienkimcuong]

Có vẻ như chưa thoả …

Cái $f^*$ em sai sót thật, nhưng cái $f^{**}$ thỏa đó thầy   . Sau đây em có chỉnh một tí so với ở trên

 

Với giả thiết đề cho thì ta thấy rằng chỉ cần quan tâm tới $x\in [0,4)$. Xét một hàm liên tục $g\colon [0,1]\to [0,1]$ bất kì thỏa mãn $g(0)=0,\ g(1)=1$ và với mọi $x\in (0,1)$ thì

$$g(x)\notin \{0,1\},\quad g(x)+g(1-x)=1.$$

Tiếp theo ta xét hàm $f_1\colon [0,2]\to [0,1]$ như sau

$$f_1(x)=\begin{cases} g(x) &, 0\le x\le 1\\ 1-g(x-1)&, 1<x\le 2\end{cases}$$

Khi đó hàm số $f^{**}\colon [0,4]\to [0,1]$ được xác định như sau

$$f^{**}(x)=\begin{cases}f_1(x)&, 0\le x\le 2\\ -f_1(x-2)&, 2<x\le 4 \end{cases}$$

thỏa mãn điều kiện đề cho.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-07-2022 - 16:01

[hxthanh]

Chịu thua em rồi đó. Vậy bài này xem như bỏ, hết cách cứu vãn