Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ liên tục, tuần hoàn, thoả mãn tất cả các điều kiện sau:
$$\left\{\begin{align*} f(x)&=f(x+4) \\ f(-x)&=-f(x) \\ \left|f(x)\right|+\left|f(x+1)\right| &=1,\,\, \forall x \\ f(x)&\ne 0,\,\,\forall x\ne 2n;\,\,n\in\mathbb Z\end{align*} \right.$$
Nếu thầy muốn thu được hàm số như trên thì vẫn chưa đủ giả thiết, vì ta vẫn có thể xây dựng hàm $f$ khả thoải mái với các điều kiện như này.
Đơn cử như sau, với giả thiết đề cho thì ta thấy rằng chỉ cần quan tâm với $x\in [0,4)$. Xét một hàm liên tục $g\colon [0,1]\to [-1,1]$ bất kì thỏa mãn $g(0)=0,g(1)\in\{-1,1\}$ và $g(x)\notin \{-1,0,1\}$ với mọi $x\in (0,1)$. Tiếp theo ta xét hàm $f_1\colon [0,2]\to [-1,1]$ như sau
$$f_1(x)=\begin{cases} g(x) &, 0\le x\le 1\\ g(1)-g(x-1)&, 1<x\le 2\end{cases}$$
Khi đó các hàm số $f^*,f^{**}\colon [0,4]\to [-1,1]$ được xác định như sau
$$f^*(x)=\begin{cases}f_1(x)&, 0\le x\le 2\\ f_1(x-2)&, 2<x\le 4 \end{cases},\quad f^{**}(x)=\begin{cases}f_1(x)&, 0\le x\le 2\\ -f_1(x-2)&, 2<x\le 4 \end{cases}$$
đều thỏa mãn điều kiện đề cho.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-07-2022 - 16:02