Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Tính duy nhất của lời giải chứng minh cho $\lambda\min\left ( s, t \right )+ \lambda^{2}st$


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 1548 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 30-07-2022 - 10:02

(Original Problem). Xét đến quá trình Poisson, để kiểm tra độ dừng của nó, ta sẽ tìm $\mathbb{E}\left [ X\left ( s \right )X\left ( t \right ) \right ]$ cho việc đánh giá

$$\mathbb{C}_{X}\left ( s, t \right )= \mathbb{E}\left [ X\left ( s \right )X\left ( t \right ) \right ]- m_{X}\left ( s \right )m_{X}\left ( t \right )$$

>> Đưa ra kết luận.

 

Nhưng có một vấn đề như sau:

Trong bước chứng minh, không giảm tổng quát giả sử $s< t$ và nó dẫn tới

$$\begin{array}{rl} \mathbb{E}\left [ X\left ( s \right )X\left ( t \right ) \right ]= & \mathbb{E}\left [ \left ( X\left ( s \right ) \right )^{2}+ X\left ( s \right )\left ( X\left ( t \right )- X\left ( s \right ) \right ) \right ]=\\ = & \left ( \lambda s+ \lambda^{2}s^{2} \right )+ \lambda s\lambda\left ( t- s \right )= \lambda s+ \lambda^{2}st \end{array}$$

Ta không thể cho rằng $\mathbb{E}\left [ X\left ( s \right )X\left ( t \right ) \right ]= \lambda\min\left ( s, t \right )+ \lambda^{2}st$ chỉ với tính đối xứng đã định sẵn. Ví dụ, nếu nhận được kết quả khác là $\mathbb{E}\left [ X\left ( s \right )X\left ( t \right ) \right ]= \lambda s+ \lambda^{2}\left ( s^{2}+ st \right )$ thì cũng ít nhất hơn hai sự thay thế rồi

$$\lambda\min\left ( s, t \right )+ \lambda^{2}\left \{ \left ( \min\left ( s, t \right ) \right )^{2}+ st \right \}\vee\lambda\min\left ( s, t \right )+ \lambda^{2}\min\left ( s, t \right )\left ( s+ t \right )$$

Mình nghĩ về hướng tiếp cận khác chứa khả năng giải quyết song khó hơn:

Vẫn hai trường hợp

$$\begin{array}{rl} x_{1}, y_{1}> 0\Rightarrow & \min\left ( s, t \right )\leq\frac{x_{1}}{x_{1}+ y_{1}}s+ \frac{y_{1}}{x_{1}+ y_{1}}t\leq\frac{\mathbb{E}- \lambda^{2}st}{\lambda}\\ x_{2}, y_{2}< 0\Rightarrow & \min\left ( s, t \right )\geq\frac{x_{2}}{x_{2}+ y_{2}}s+ \frac{y_{2}}{x_{2}+ y_{2}}t\geq\frac{\mathbb{E}- \lambda^{2}st}{\lambda} \end{array}$$

Do đó $\mathbb{E}\left [ X\left ( s \right )X\left ( t \right ) \right ]= \lambda\min\left ( s, t \right )+ \lambda^{2}st$ một cách không chối cãi. Vậy nên ưu tiên tìm các hàm $x\left ( s, t \right ), y\left ( s, t \right )$ thỏa. Điều kiện này khó mà đạt.

 

Mình mong nhận được sự giúp đỡ. Cảm ơn các bạn rất nhiều!

Added (2 Th8 '22). Bào chữa lỗi sai.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 02-08-2022 - 19:44
Xin lỗi vì đã làm lãng phí những nỗ lực của các bạn





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh