Tìm giới hạn của $u_{n}$
#1
Đã gửi 31-07-2022 - 17:06
- DOTOANNANG và Hoang72 thích
#2
Đã gửi 01-08-2022 - 16:16
Cho $(u_{n})$ thỏa $u_{1},u_{2} \in (0;1)$ và
$u_{n+2}=\frac{1}{n}u_{n+1}^2+\frac{n-1}{n}\sqrt{u_{n}}$.Tìm giới hạn của $u_{n}$.
Bổ đề. Cho hai số dương $\alpha,\beta$ có tổng bé hơn $1$. Nếu dãy số $(x_n)$ dương thỏa mãn
$$x_{n+2}\le \alpha x_{n+1}+\beta x_{n},\quad \forall n\ge n_0$$
thì dãy $(x_n)$ hội tụ và $\lim x_n=0$.
Quay lại bài toán.
Dễ dàng chứng minh được $0<u_n<1$ với mọi $n$. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
$$u_{n+2}=\frac{1}{n}u_{n+1}^2+\frac{n-1}{n}\sqrt{u_n}\ge \sqrt[n]{u_{n+1}^2u_n^{\frac{n-1}{2}}}.$$
Đặt $v_n=-\ln(u_n)>0$ thì bất đẳng thức trên tương đương $v_{n+2}\le \frac{2}{n}v_{n+1}+\frac{n-1}{2n}v_n$. Suy ra
$$v_{n+2}<\frac{2}{5}v_{n+1}+\frac{1}{2}v_n,\quad \forall n\ge 5.$$
Áp dụng bổ đề trên ta có $\lim v_n=0$, dẫn tới $\lim u_n=1$.
P/s: Một ví dụ và tài liệu tham khảo liên quan tới bổ đề trên có thể xem ở đây
- perfectstrong, hxthanh, DOTOANNANG và 3 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#3
Đã gửi 01-08-2022 - 20:55
Bổ đề. Cho hai số dương $\alpha,\beta$ có tổng bé hơn $1$. Nếu dãy số $(x_n)$ dương thỏa mãn
$$x_{n+2}\le \alpha x_{n+1}+\beta x_{n},\quad \forall n\ge n_0$$
thì dãy $(x_n)$ hội tụ và $\lim x_n=0$.
Quay lại bài toán.
Dễ dàng chứng minh được $0<u_n<1$ với mọi $n$. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
$$u_{n+2}=\frac{1}{n}u_{n+1}^2+\frac{n-1}{n}\sqrt{u_n}\ge \sqrt[n]{u_{n+1}^2u_n^{\frac{n-1}{2}}}.$$
Đặt $v_n=-\ln(u_n)>0$ thì bất đẳng thức trên tương đương $v_{n+2}\le \frac{2}{n}v_{n+1}+\frac{n-1}{2n}v_n$. Suy ra
$$v_{n+2}<\frac{2}{5}v_{n+1}+\frac{1}{2}v_n,\quad \forall n\ge 5.$$
Áp dụng bổ đề trên ta có $\lim v_n=0$, dẫn tới $\lim u_n=1$.
P/s: Một ví dụ và tài liệu tham khảo liên quan tới bổ đề trên có thể xem ở đây
Bạn có thể nói rõ chỗ lấy $ln$ làm sao ra được như vậy được không bạn thì mình chưa học tới $ln$ á bạn. Mình chỉ biết sơ về định nghĩa chứ chưa hiểu sâu cụ thể làm sao lấy $ln$ thì ra được vậy mong bạn giúp mình với
#4
Đã gửi 02-08-2022 - 10:41
Bạn có thể nói rõ chỗ lấy $ln$ làm sao ra được như vậy được không bạn thì mình chưa học tới $ln$ á bạn. Mình chỉ biết sơ về định nghĩa chứ chưa hiểu sâu cụ thể làm sao lấy $ln$ thì ra được vậy mong bạn giúp mình với
Hàm $\ln$ (lôgarit tự nhiên) có các tính chất sau: Với $a,b>0$ và $t\in \mathbb{R}$ bất kì thì
- $\ln(a)\ge \ln(b)\iff a\ge b$,
- $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$,
- $\ln(a^t)=t\ln(a)$.
Quay lại bài toán thì ta có $u_{n+2}\ge \sqrt[n]{u_{n+1}^2u_n^{\frac{n-1}{2}}}=u_{n+1}^{\frac{2}{n}}u_n^{\frac{n-1}{2n}}$, tương đương
\[\begin{align*}\ln(u_{n+2})&\overset{(1)}{\ge} \ln\left(u_{n+1}^{\frac{2}{n}}u_n^{\frac{n-1}{2n}}\right)\\ &\overset{(2)}{=}\ln\left(u_{n+1}^{\frac{2}{n}} \right )+\ln\left(u_n^{\frac{n-1}{2n}} \right )\\ &\overset{(3)}{=}\frac{2}{n}\ln(u_{n+1})+\frac{n-1}{2n}\ln(u_n). \end{align*}\]
- hxthanh, DOTOANNANG, Hoang72 và 2 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh