Chủ đề này có 3 trả lời

[Math04]

Cho $(u_{n})$ thỏa $u_{1},u_{2} \in (0;1)$ và 

$u_{n+2}=\frac{1}{n}u_{n+1}^2+\frac{n-1}{n}\sqrt{u_{n}}$.

Tìm giới hạn của $u_{n}$.

[nhungvienkimcuong]

Cho $(u_{n})$ thỏa $u_{1},u_{2} \in (0;1)$ và 

$u_{n+2}=\frac{1}{n}u_{n+1}^2+\frac{n-1}{n}\sqrt{u_{n}}$.

Tìm giới hạn của $u_{n}$.

Bổ đề. Cho hai số dương $\alpha,\beta$ có tổng bé hơn $1$. Nếu dãy số $(x_n)$ dương thỏa mãn 

$$x_{n+2}\le \alpha x_{n+1}+\beta x_{n},\quad \forall n\ge n_0$$

thì dãy $(x_n)$ hội tụ và $\lim x_n=0$.

 

Quay lại bài toán.

Dễ dàng chứng minh được $0<u_n<1$ với mọi $n$. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 

$$u_{n+2}=\frac{1}{n}u_{n+1}^2+\frac{n-1}{n}\sqrt{u_n}\ge \sqrt[n]{u_{n+1}^2u_n^{\frac{n-1}{2}}}.$$

Đặt $v_n=-\ln(u_n)>0$ thì bất đẳng thức trên tương đương $v_{n+2}\le \frac{2}{n}v_{n+1}+\frac{n-1}{2n}v_n$. Suy ra

$$v_{n+2}<\frac{2}{5}v_{n+1}+\frac{1}{2}v_n,\quad \forall n\ge 5.$$

Áp dụng bổ đề trên ta có $\lim v_n=0$, dẫn tới $\lim u_n=1$.

 

P/s: Một ví dụ và tài liệu tham khảo liên quan tới bổ đề trên có thể xem ở đây

[Math04]

Bổ đề. Cho hai số dương $\alpha,\beta$ có tổng bé hơn $1$. Nếu dãy số $(x_n)$ dương thỏa mãn 

$$x_{n+2}\le \alpha x_{n+1}+\beta x_{n},\quad \forall n\ge n_0$$

thì dãy $(x_n)$ hội tụ và $\lim x_n=0$.

 

Quay lại bài toán.

Dễ dàng chứng minh được $0<u_n<1$ với mọi $n$. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 

$$u_{n+2}=\frac{1}{n}u_{n+1}^2+\frac{n-1}{n}\sqrt{u_n}\ge \sqrt[n]{u_{n+1}^2u_n^{\frac{n-1}{2}}}.$$

Đặt $v_n=-\ln(u_n)>0$ thì bất đẳng thức trên tương đương $v_{n+2}\le \frac{2}{n}v_{n+1}+\frac{n-1}{2n}v_n$. Suy ra

$$v_{n+2}<\frac{2}{5}v_{n+1}+\frac{1}{2}v_n,\quad \forall n\ge 5.$$

Áp dụng bổ đề trên ta có $\lim v_n=0$, dẫn tới $\lim u_n=1$.

 

P/s: Một ví dụ và tài liệu tham khảo liên quan tới bổ đề trên có thể xem ở đây

Bạn có thể nói rõ chỗ lấy $ln$ làm sao ra được như vậy được không bạn thì mình chưa học tới $ln$ á bạn. Mình chỉ biết sơ về định nghĩa chứ chưa hiểu sâu cụ thể làm sao lấy $ln$ thì ra được vậy mong bạn giúp mình với

[nhungvienkimcuong]

Bạn có thể nói rõ chỗ lấy $ln$ làm sao ra được như vậy được không bạn thì mình chưa học tới $ln$ á bạn. Mình chỉ biết sơ về định nghĩa chứ chưa hiểu sâu cụ thể làm sao lấy $ln$ thì ra được vậy mong bạn giúp mình với

Hàm $\ln$ (lôgarit tự nhiên) có các tính chất sau: Với $a,b>0$ và $t\in \mathbb{R}$ bất kì thì

1. $\ln(a)\ge \ln(b)\iff a\ge b$,
2. $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$,
3. $\ln(a^t)=t\ln(a)$.

Quay lại bài toán thì ta có $u_{n+2}\ge \sqrt[n]{u_{n+1}^2u_n^{\frac{n-1}{2}}}=u_{n+1}^{\frac{2}{n}}u_n^{\frac{n-1}{2n}}$, tương đương

\[\begin{align*}\ln(u_{n+2})&\overset{(1)}{\ge} \ln\left(u_{n+1}^{\frac{2}{n}}u_n^{\frac{n-1}{2n}}\right)\\ &\overset{(2)}{=}\ln\left(u_{n+1}^{\frac{2}{n}} \right )+\ln\left(u_n^{\frac{n-1}{2n}} \right )\\ &\overset{(3)}{=}\frac{2}{n}\ln(u_{n+1})+\frac{n-1}{2n}\ln(u_n). \end{align*}\]