Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$x^2 +y^2+z^2+3(x+y+z) +5=0$ không có nghiệm hữu tỉ $(x,y,z)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 ncc

ncc

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 01-08-2022 - 17:19

chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm hữu tỉ $(x,y,z)$

       $$x^2 +y^2+z^2+3(x+y+z) +5=0$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-08-2022 - 20:50
Tiêu đề + LaTeX


#2 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 02-08-2022 - 10:58

Phương trình tương đương $$(2x+3)^2 + (2y+3)^2 + (2z+3)^2 = 7$$

Ta sẽ chỉ ra rằng phương trình $$a^2+b^2+c^2=7$$ không có nghiệm hữu tỉ $a,b,c$.

Giả sử $(a_0,b_0,c_0)$ là một nghiệm hữu tỉ của phương trình trên.

Quy đồng mẫu số, đặt $ (a_0,b_0,c_0) = \left(\frac{a_1}{n} , \frac{b_1}{n} , \frac{c_1}{n} \right)$, với $a_1,b_1,c_1,n\in\mathbb Z; n\neq 0; (a_1,b_1,c_1,n) = 1$.

Khi đó: $$a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 = 7n^2$$

$\bullet$ Nếu $n$ chẵn thì $4\mid a_1^2 + b_1^2 + c_1^2$.

Do số chính phương chia cho $4$ dư $0$ hoặc $1$ nên $a_1,b_1,c_1$ phải cùng chẵn, vô lí vì $(a_1,b_1,c_1,n) = 1$.

$\bullet$ Nếu $n$ lẻ thì $a_1^2+b_1^2+c_1^2 = 7n^2\equiv 7 \pmod{8}$.

Do $a_1^2,b_1^2,c_1^2\equiv 0; 1; 4\pmod 8$ nên điều này không thể xảy ra.

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm hữu tỉ.

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh