Đến nội dung

Hình ảnh

Cho trước x,y và $(ny)^{2}+1 | x^{\varphi (n)}-1$ với mọi n. CMR x=1

- - - - - nguyên tố chia hết số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Cho x,y là các số nguyên dương. Nếu với mọi n nguyên dương ta có $(ny)^{2}+1 | x^{\varphi (n)}-1$. CMR x=1 



#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Cho x,y là các số nguyên dương. Nếu với mọi n nguyên dương ta có $(ny)^{2}+1 | x^{\varphi (n)}-1$. CMR x=1 

Bổ đề. Với mỗi số nguyên dương $y$ thì tồn tại vô hạn số nguyên tố $p\equiv 2\pmod{3}$ sao cho tồn tại bội của $p$ có dạng $(3^ky)^2+1$.

Chứng minh. Tham khảo IMO Shortlist 2012 - N6.

 

Quay lại bài toán.

Dựa vào bổ đề thì tồn tại $p\equiv 2\pmod{3}$ sao cho $p\mid (3^ky)^2+1$ với $k$ nào đó. Theo giả thiết đề cho thì

\[(3^ky)^2+1\mid x^{\varphi(3^k)}-1=x^{2\cdot 3^{k-1}}-1\implies p\mid x^{2\cdot 3^{k-1}}-1\]

Do đó $\text{ord}_p(x)\mid\gcd(2\cdot 3^{k-1},p-1)$. Mặt khác

$$\gcd(2\cdot 3^{k-1},p-1)\mid 2\implies p\mid x^2-1.$$

Vì có vô hạn $p$ nên $x^2-1=0$, do vậy $x=1$.

 

P/s: Mình thật sự rất ưng những kiểu bài như này, một bên thì cố định, một bên thì có vô hạn  :ukliam2: . Sau đây là một số bài toán anh em họ hàng.

Bài 1 (IMO Shortlist 2012). Cho các số nguyên dương $x,y$. Biết rằng với mọi $n$ nguyên dương thì $2^ny+1\mid x^{2^n}-1$. Chứng minh rằng $x=1$.

Bài 2. Cho hai số nguyên dương $a,b$. Biết rằng với mọi $n$ nguyên dương thì $a^n+n\mid b^n+n$, chứng tỏ $a=b$.

Bài 3. Tìm $a,b$ nguyên dương biết rằng với mọi $n$ nguyên dương thì $n\mid a^n+b^{n+1}$.

Bài 4. Tìm tất cả số tự nhiên $c$ sao cho tồn tại hai số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^n+2^n\mid b^n+c$ với mọi $n$ nguyên dương.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nguyên tố, chia hết, số học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh