Cho x,y là các số nguyên dương. Nếu với mọi n nguyên dương ta có $(ny)^{2}+1 | x^{\varphi (n)}-1$. CMR x=1
#2
Đã gửi 04-08-2022 - 15:51
Cho x,y là các số nguyên dương. Nếu với mọi n nguyên dương ta có $(ny)^{2}+1 | x^{\varphi (n)}-1$. CMR x=1
Bổ đề. Với mỗi số nguyên dương $y$ thì tồn tại vô hạn số nguyên tố $p\equiv 2\pmod{3}$ sao cho tồn tại bội của $p$ có dạng $(3^ky)^2+1$.
Chứng minh. Tham khảo IMO Shortlist 2012 - N6.
Quay lại bài toán.
Dựa vào bổ đề thì tồn tại $p\equiv 2\pmod{3}$ sao cho $p\mid (3^ky)^2+1$ với $k$ nào đó. Theo giả thiết đề cho thì
\[(3^ky)^2+1\mid x^{\varphi(3^k)}-1=x^{2\cdot 3^{k-1}}-1\implies p\mid x^{2\cdot 3^{k-1}}-1\]
Do đó $\text{ord}_p(x)\mid\gcd(2\cdot 3^{k-1},p-1)$. Mặt khác
$$\gcd(2\cdot 3^{k-1},p-1)\mid 2\implies p\mid x^2-1.$$
Vì có vô hạn $p$ nên $x^2-1=0$, do vậy $x=1$.
P/s: Mình thật sự rất ưng những kiểu bài như này, một bên thì cố định, một bên thì có vô hạn . Sau đây là một số bài toán anh em họ hàng.
Bài 1 (IMO Shortlist 2012). Cho các số nguyên dương $x,y$. Biết rằng với mọi $n$ nguyên dương thì $2^ny+1\mid x^{2^n}-1$. Chứng minh rằng $x=1$.
Bài 2. Cho hai số nguyên dương $a,b$. Biết rằng với mọi $n$ nguyên dương thì $a^n+n\mid b^n+n$, chứng tỏ $a=b$.
Bài 3. Tìm $a,b$ nguyên dương biết rằng với mọi $n$ nguyên dương thì $n\mid a^n+b^{n+1}$.
Bài 4. Tìm tất cả số tự nhiên $c$ sao cho tồn tại hai số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^n+2^n\mid b^n+c$ với mọi $n$ nguyên dương.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nguyên tố, chia hết, số học
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh tích $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 chia hết |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$(3^{n}-1)\vdots 2^{2023}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 06-02-2024 chia hết |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh