Chủ đề này có 2 trả lời

[Explorer]

CMR tồn tại vô hạn các cặp số nguyên dương (m,n) nguyên tố cùng nhau sao cho với mỗi cặp đó phương trình $(x+m)^{3}=nx$ có 3 nghiệm nguyên khác nhau

[Hoang72]

Cho $n = (1+m)^3$.

Nhận thấy khi đó $(m,n) =1$, đồng thời phương trình: $$(x+m)^3 = (m+1)^3x$$

$$\Leftrightarrow  (x-1)(x^2 + 3mx + x -m^3) = 0$$

Ta sẽ chứng minh có vô số giá trị của $m$ để phương trình $x^2 + 3mx + x - m^3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Sau một vài phép thử thì mình tìm được $m= k (k+1)$ thì $x^2 + 3mx + x - m^3 = 0 \Leftrightarrow (x-k^3)(x+(k+1)^3) = 0$.

Bài toán hoàn tất chứng minh.

Câu hỏi đặt ra là tất cả các giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình $$x^2+3mx + x - m^3 =0$$ có hai nghiệm nguyên có phải là $m$ có dạng $ k(k+1)$ hay không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 04-08-2022 - 11:35

[nhungvienkimcuong]

CMR tồn tại vô hạn các cặp số nguyên dương (m,n) nguyên tố cùng nhau sao cho với mỗi cặp đó phương trình $(x+m)^{3}=nx$ có 3 nghiệm nguyên khác nhau

Một ý tưởng khác như sau: ta sẽ tìm cặp $(m,n)$ để phương trình sau có 3 nghiệm nguyên phân biệt

$$X^3-nX+mn=0.$$

Giả dụ phương trình này có ba nghiệm $a,b,c$. Khi đó theo Vi-ét thì $a+b+c=0$ hay $c=-a-b$, ngoài ra thì

$$\left\{\begin{array}{l}n=-(ab+bc+ca)=a^2+ab+b^2\\ mn=abc=-ab(a+b)\end{array}\right.$$

Tới đây ta sẽ xây dựng $a,b$ sao cho $a^2+ab+b^2$ và $\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}$ nguyên tố cùng nhau (đương nhiên phải có $a^2+ab+b^2\mid ab(a+b)$ nữa). Phần còn lại bạn làm nốt nhé