CMR tồn tại vô hạn các cặp số nguyên dương (m,n) nguyên tố cùng nhau sao cho với mỗi cặp đó phương trình $(x+m)^{3}=nx$ có 3 nghiệm nguyên khác nhau
CMR tồn tại vô hạn m,n sao cho (m,n)=1 và ptr $(x+m)^{3}=nx$ có 3 nghiệm nguyên khác nhau
#2
Đã gửi 04-08-2022 - 11:35
Cho $n = (1+m)^3$.
Nhận thấy khi đó $(m,n) =1$, đồng thời phương trình: $$(x+m)^3 = (m+1)^3x$$
$$\Leftrightarrow (x-1)(x^2 + 3mx + x -m^3) = 0$$
Ta sẽ chứng minh có vô số giá trị của $m$ để phương trình $x^2 + 3mx + x - m^3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
Sau một vài phép thử thì mình tìm được $m= k (k+1)$ thì $x^2 + 3mx + x - m^3 = 0 \Leftrightarrow (x-k^3)(x+(k+1)^3) = 0$.
Bài toán hoàn tất chứng minh.
Câu hỏi đặt ra là tất cả các giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình $$x^2+3mx + x - m^3 =0$$ có hai nghiệm nguyên có phải là $m$ có dạng $ k(k+1)$ hay không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 04-08-2022 - 11:35
- perfectstrong, hxthanh, nhungvienkimcuong và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 04-08-2022 - 15:18
CMR tồn tại vô hạn các cặp số nguyên dương (m,n) nguyên tố cùng nhau sao cho với mỗi cặp đó phương trình $(x+m)^{3}=nx$ có 3 nghiệm nguyên khác nhau
Một ý tưởng khác như sau: ta sẽ tìm cặp $(m,n)$ để phương trình sau có 3 nghiệm nguyên phân biệt
$$X^3-nX+mn=0.$$
Giả dụ phương trình này có ba nghiệm $a,b,c$. Khi đó theo Vi-ét thì $a+b+c=0$ hay $c=-a-b$, ngoài ra thì
$$\left\{\begin{array}{l}n=-(ab+bc+ca)=a^2+ab+b^2\\ mn=abc=-ab(a+b)\end{array}\right.$$
Tới đây ta sẽ xây dựng $a,b$ sao cho $a^2+ab+b^2$ và $\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}$ nguyên tố cùng nhau (đương nhiên phải có $a^2+ab+b^2\mid ab(a+b)$ nữa). Phần còn lại bạn làm nốt nhé
- perfectstrong, hxthanh, DOTOANNANG và 2 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nghiệm nguyên, số học, tồn tại, nguyên dương, nguyên tố, phương trình
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh