Cho $a,b,c,d >0$.Chứng minh :
$$2(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)(d^3+1)\geq (1+abcd)(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 03-08-2022 - 02:23
Tiêu đề + LaTeX
Cho $a,b,c,d >0$.Chứng minh :
$$2(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)(d^3+1)\geq (1+abcd)(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 03-08-2022 - 02:23
Tiêu đề + LaTeX
Theo $Holder$, ta có $\prod (a^{4}+1)\geq \left ( abcd+1 \right )^{4}$
Ta quy về chứng minh $2^{4}.\left [ \prod \left ( a^{3}+1 \right ) \right ]^{4} \geq \prod \left ( a^{4}+1 \right ).\left [ \prod \left ( a^{2}+1 \right ) \right ]^{4}$
Ta sẽ chứng minh $2(a^{3}+1)^{4}\geq \left ( a^{4}+1 \right ).\left (a^{2}+1 \right )^{4}$
Thật vậy $\left ( a^{2}+1 \right )^{4} \leq (a+1)^{2}.\left ( a^{3} +1\right )^{2}$
Thế thì cần chứng minh $2\left ( a^{3}+1 \right )^{2}\geq \left ( a^{4}+1 \right )\left ( a+1 \right )^{2} \Leftrightarrow (a-1)^{4}\geq 0$ ( luôn đúng)
Phép chứng minh được hoàn tất
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh